連立2次不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 連立不等式は「別々に解いて、重なりを取る」— $1$ 次のときと手順は同じだ。

$$x^2-4x-5<0⟹(x+1)(x-5)<0⟹-1<x<5$$

$$x^2-x-2\geqq 0⟹(x+1)(x-2)\geqq 0⟹x\leqq -1\text{または}2\leqq x$$

$2$ つを数直線に描いて、両方を満たす部分を読む。片方が「間」、もう片方が「外側 $2$ つ」— 重なりを丁寧に拾うのが勝負だ。

それぞれの2次不等式を別々に解く。

1つ目 $x^2-4x-5<0$ を因数分解すると

$$(x+1)(x-5)<0$$

$<0$ は内側なので $-1<x<5$。

2つ目 $x^2-x-2\ge 0$ を因数分解すると

$$(x+1)(x-2)\ge 0$$

$\ge 0$ は外側なので $x\le -1$ または $x\ge 2$。

共通部分 $-1<x<5$ と『$x\le -1$ または $x\ge 2$』の両方を満たす範囲を、数直線で読むと

$$2\le x<5$$

まとめ:連立2次不等式は『別々に解いて共通部分』。数直線に2つの範囲をかいて、重なりを丁寧に読むのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 今回は $2$ 式の共通部分が $1$ つの区間になったが、$2$ つの離れた区間になることもある(たとえば①が「外側」、②も「外側」の場合)。数直線を描かずに勘で答えると、こういうケースで片方を落とす — 必ず図か表で確認する理由がここにある。

連立不等式の答えは「集合の共通部分($\cap$)」そのもの。集合と命題の単元で学んだ $\cap$ が、ここで具体的な計算として現れている。「$\cap$ は重なり、$\cup$ は合わせる」— 記号と作業が一致していることを確かめておきたい。

別解

重なりの取りこぼしを防ぐには、境界点で数直線を区切って、区間ごとに $◯\times$ を書くのが確実だ。

境界は $-1,2,5$ の $3$ 点。数直線が $4$ 区間に割れる。

両方が○になるのは $2\leqq x<5$ だけ ✓

この表の利点は、境界点の扱いが自動で決まること。$x=2$ は②に含まれ($\geqq$)、①にも入る($2<5$)から答えに含む。$x=5$ は①から外れる($<5$)ので含まない。$x=-1$ は①から外れるので除外 — 迷いようがない。

検算は代入で。$x=3$: $9-12-5=-8<0$ ✓、$9-3-2=4\geqq 0$ ✓ — 両方満たす。$x=1$: $1-4-5=-8<0$ ✓ だが $1-1-2=-2<0$ ✗ — ②を満たさない、正しく除外されている。

境界点で区切って表を作る — 連立不等式・絶対値・場合分けのすべてで使える、確実な手続きである。