解の配置(異なる2つの正の解)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「異なる $2$ つの正の解」— 解の個数だけでなく場所まで指定されている。$D>0$ だけでは足りない。

グラフ($y=x^2-2mx+m+6$、下に凸)で考えると、$2$ 交点がどちらも $x$ 軸の正の側にある条件だ。それには $3$ つが必要になる。

1. $D>0$ — そもそも $2$ 交点がある
2. 軸 $>0$ — $2$ 交点の真ん中(軸)が正の側にある
3. $f(0)>0$ — $y$ 軸との交点が上にある($x=0$ の左側に交点が来ない)

$3$ 条件をすべて満たす $m$ を求める — $1$ つでも欠けると答えが違ってくる。

$f(x)=x^2-2mx+m+6$ とする。平方完成すると

$$f(x)=(x-m{)}^2-m^2+m+6$$

軸は $x=m$。下に凸の放物線が、$x$ 軸の正の部分で異なる2点で交わる条件は、次の3つをすべて満たすこと。

① 異なる2解 → $D>0$: 判別式が正。

$$D=(-2m{)}^2-4(m+6)=4m^2-4m-24=4(m^2-m-6)$$

$D>0$ より $m^2-m-6>0$、$(m-3)(m+2)>0$、$m<-2$ または $m>3$。

② 2解とも正 → 軸が正: 軸 $x=m>0$、つまり $m>0$。

③ $f(0)>0$: $f(0)=m+6>0$、つまり $m>-6$。

3つ($m<-2$ または $m>3$)かつ($m>0$)かつ($m>-6$)を、数直線ですべて満たす範囲をとると

$$m>3$$

まとめ:『異なる2つの正の解』は、グラフで『下に凸が $x$ 軸の正の部分で2点交差』とイメージし、$D>0$・軸が正・$f(0)>0$ の3条件に翻訳する。3つとも忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 解の配置の $3$ 条件は、解と係数の関係でも言い換えられる。$2$ 解 $\alpha ,\beta$ がともに正 ⟺ 「$\alpha +\beta >0$ かつ $\alpha \beta >0$ かつ $D>0$」。和と積が両方正なら、$2$ 数はともに正だからだ(積が正で同符号、和が正なら両方正)。

この問題では $\alpha +\beta =2m>0$(軸 $m>0$ と同値)、$\alpha \beta =m+6>0$($f(0)>0$ と同値)— グラフの条件と、解と係数の条件が完全に対応している。図形的に考えるか代数的に考えるか、好きな道を選べる。

「ともに負」なら和が負・積が正、「異符号」なら積が負($D>0$ は自動)— 配置のパターンごとに条件が決まる。$D$・和・積の $3$ つで、$2$ 解の位置関係はすべて記述できるというのが、この分野の中心的な考え方である。

別解

$3$ つの条件がなぜ全部必要か — $1$ つずつ外した反例を見ると、腑に落ちる。

もし $D>0$ だけなら: $m=-3$ を試そう。$D/4=9-3=6>0$ ✓ だが、方程式は $x^2+6x+3=0$ で解は $-3\pm \sqrt{6}$ — 両方とも負だ。「正の解」の条件が完全に無視されている。

もし $D>0$ と 軸 $>0$ だけなら: 軸は $x=m$ なので $m>0$。だが $f(0)=m+6$ の符号を見ていないと、$f(0)<0$ のとき(この問題では起きないが、一般には) $1$ 解が負、$1$ 解が正という配置を許してしまう。$y$ 軸との交点が $x$ 軸より下なら、放物線は $x=0$ の左右で $1$ 回ずつ $x$ 軸を切るからだ。

$3$ 条件を絵で言い直すと

• $D>0$: 放物線が $x$ 軸を $2$ 回切る
• 軸 $>0$: $2$ 交点の中心が右側にある
• $f(0)>0$: $x=0$ での値がプラス($x=0$ より左に交点がない)

この $3$ つが揃って初めて、$2$ 交点が両方とも正の側に閉じ込められる。

計算すると、$D/4=m^2-(m+6)=(m-3)(m+2)>0$ から $m<-2$ または $m>3$。軸の条件 $m>0$ と合わせて $m>3$。$f(0)=m+6>0$ は $m>3$ の範囲で自動的に成立 — 答え $m>3$。

検算しよう。$m=4$: 方程式 $x^2-8x+10=0$、解は $4\pm \sqrt{6}\approx 6.4,1.6$ — 両方正 ✓。

解の配置は「$D$・軸・端点の値」の $3$ 点セット — この型は、区間内に解を持つ条件など、より複雑な配置問題の基本形になる。