2次不等式の文章題(値上げと売上)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 値上げ額を $x$ 円とおく。すると価格も個数も、両方 $x$ の式で書ける。

売上は価格と個数の積だから、$x$ の $2$ 次式になる。

価格が増えるほど個数は減る。この綱引きが $2$ 次関数になる、というのが売上の文章題の典型だ。

不等式を解いたあとは、$x$ が現実に許される範囲(個数が正など)からはみ出していないかも確かめたい。

① 価格と個数を $x$ で表す。 値上げ額を $x$ 円とする。1円値上げごとに価格が1円上がり、個数が2個減るので、価格は $(100+x)$ 円、販売個数は $(300-2x)$ 個。売上が30800円以上の条件は

$$(100+x)(300-2x)\geqq 30800$$

② 売上の不等式を立て、展開・整理する。 左辺を展開する。

$$30000-200x+300x-2x^2=-2x^2+100x+30000$$

だから

$$-2x^2+100x+30000\geqq 30800$$

右辺を移項して

$$-2x^2+100x-800\geqq 0$$

③ 2次不等式にして解く。 両辺を $-2$ で割って(向きが逆になる)整理する。

$$x^2-50x+400\leqq 0$$

因数分解して

$$(x-10)(x-40)\leqq 0\text{よって}10\leqq x\leqq 40$$

よって、値上げ額を10円以上40円以下にすればよい。

まとめ:売上の文章題は『価格 × 個数』を $x$ の式にするのが第一歩。値上げで価格は増え、個数は減る、という関係を正しく式にする。

発展 — 一歩先へ。 この問題は、価格を上げると売れる個数が一定の割合で減る、という単純なモデルだ。値上げ $x$ に対して個数が直線的に減るとき、売上はいつも上に凸の $2$ 次関数になる。

だから売上が最大になる値上げ額は、その放物線の頂点、つまり許される範囲のちょうど真ん中あたりに来る。単価を上げて得する分と、個数が減って損する分が、ちょうど釣り合う点だ。

これは経済で言う「収入が最大になるのは、もう $1$ 円上げたときの増収がゼロになるところ」という考え方に対応する。需要が価格でどれだけ動くか(価格弾力性)を通して、値づけの理論へつながっていく。

別解

別解 — 平方完成で売上の最大を見つけ、対称に範囲を読む(視覚で捉えるルート)。 展開して並べるかわりに、売上そのものの頂点を先に出す。

売上を $S$ とすると $S=(100+x)(300-2x)=-2x^2+100x+30000$。平方完成すると

$$S=-2(x-25{)}^2+31250.$$

$x=25$ のとき売上は最大の $31250$ 円。グラフは $x=25$ を軸とする上に凸の放物線だ。

$S\ge 30800$ は $-2(x-25{)}^2\ge 30800-31250=-450$、すなわち $(x-25{)}^2\le 225$。よって $|x-25|\le 15$、つまり $25-15\le x\le 25+15$。

頂点 $x=25$ から左右に $15$ ずつ、という対称な窓として $10\le x\le 40$ が読める。因数分解して解く本解と同じ範囲に、放物線の対称性から着く。