絶対値を含む方程式の実数解の個数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文字定数 $k$ を含む方程式の「解の個数」を問われている。

方程式のまま押すのは大変だ。そこで $y=|x^2-2x-3|$ のグラフと、水平線 $y=k$ の交点の個数で数える、とグラフの問題に翻訳する。ここが発想の転換点だ。

絶対値のグラフは、もとの放物線の負の部分を上へ折り返すだけでできる。

あとは水平線 $y=k$ を下から上へ動かす。交点の個数が変わる高さ、とくに折り返しの山の頂上に注目して読み取る。

$|x^2-2x-3|=k$ の解の個数は、$y=|x^2-2x-3|$ のグラフと横線 $y=k$ の交点の個数で数える。

$y=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ は $x=-1,3$ で $x$ 軸を横切り、その間で負。絶対値をつけると、負の部分が上に折り返される。折り返してできる山の高さは、もとの頂点 $(1,-4)$ を折り返した $(1,4)$ で、高さ4。

横線 $y=k$ を下から上に動かして交点数を数える。

• $k<0$: 横線が下すぎて交わらない。0個
• $k=0$: $x$ 軸(折り返しの底2か所)で接する。$x=-1,3$ の2個
• $0<k<4$: 山の左右と、外側の2か所で交わる。4個
• $k=4$: 山の頂上 $(1,4)$ で1点、外側で2点。3個
• $k>4$: 山を越えて、外側の2か所だけ。2個

$$k<0:0\text{ 個},k=0:2\text{ 個},0<k<4:4\text{ 個},k=4:3\text{ 個},k>4:2\text{ 個}$$

式でも確かめられる。$|x^2-2x-3|=k$ は絶対値を外すと

$$x^2-2x-3=k\cdots (\mathrm{A})\text{または}{x}^2-2x-3=-k\cdots (\mathrm{B})$$

の2つ。(A)を整理した $x^2-2x-3-k=0$ の判別式は

$$\frac{D_1}{4}=1+(3+k)=4+k$$

(B)を整理した $x^2-2x-3+k=0$ の判別式は

$$\frac{D_2}{4}=1+(3-k)=4-k$$

(A)は $D_1$ の符号、(B)は $D_2$ の符号で解の個数が決まる。ただし $k=0$ では(A)と(B)が同じ式になり、$k=4$ では(B)が重解になるなど、重なりの調整が要る。だから、グラフで数えるほうが間違えにくい。

まとめ:絶対値の方程式の解の個数は、『グラフと横線 $y=k$ の交点』で数えるのが確実。折り返しの山の高さ(ここでは4)を境に、個数が変わる。

発展 — 一歩先へ。 $y=|x^2-2x-3|$ のグラフに水平線 $y=k$ を当てて交点を数える見方は、そのまま一般の $|g(x)|=k$ に使える。

個数が切り替わる $k$ は、グラフの特別な高さで起きる。まず $g(x)=0$ になる高さ($k=0$、折り返しの谷)。つぎに折り返してできた山の頂上の高さ($k=4$、もとの頂点 $-4$ を折り返した値)。

一般に $|g(x)|=k$ の解の個数が変わるのは、$g$ の値が $0$ になる高さと、$g$ の極値の高さの絶対値。これらの臨界の高さが、$k$ の数直線を「個数が一定の区間」に区切る。パラメータ $k$ ごとに交点数を追うのは、グラフを高さで輪切りにして数える見方だ。

別解

別解 — $u=(x-1{)}^2$ と置いて、$0$ 以上の $u$ を数える(得意な人向けの代数的視点)。 グラフを描くかわりに、$x$ を $1$ つの正の量にまとめてしまう。

$x^2-2x-3=(x-1{)}^2-4$ だから、$u=(x-1{)}^2$ と置くと $u\ge 0$ で、方程式は $|u-4|=k$ になる。

$k<0$ なら $u$ は存在せず、$x$ も $0$ 個。$k=0$ なら $u=4>0$ で、$x=1\pm 2$ の $2$ 個。$k>0$ なら $u-4=\pm k$ から

$$u=4+k\text{または}u=4-k.$$

ここで大事なのは、$u>0$ なら $x=1\pm \sqrt{u}$ の $2$ 個、$u=0$ なら $x=1$ の $1$ 個、$u<0$ なら $x$ は無い、という対応だ。

$u=4+k$ は $k>0$ でつねに正だから、いつも $x$ を $2$ 個生む。もう一方の $u=4-k$ は、$0<k<4$ なら正で $2$ 個、$k=4$ なら $0$ になって $1$ 個、$k>4$ なら負で $0$ 個。

足し合わせると、$0<k<4$ で $4$ 個、$k=4$ で $3$ 個、$k>4$ で $2$ 個。グラフの折り返しを見る本解と同じ答えが、$u\ge 0$ の個数勘定から出る。とくに $k=4$ で $u=0$ が $x=1$ ただ $1$ つを生むことが、山の頂上でちょうど $3$ 個になる正体だ。