2回写して戻る値(f(f(x))=x)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $f(f(x))=x$ は4次方程式。正面突破は重い。だが構造が助けてくれる。

$f(x)=x$ を満たす $x$(1回で動かない点)を考えよう。この点は、2回写しても当然動かない。つまり $f(f(x))=x$ も満たす。ということは、4次式 $f(f(x))-x$ は2次式 $f(x)-x=x^2-x-2$ を因数にもつはずだ。

この見通しで割り算すれば、残りは2次式1つ。方程式は2次×2次に分解される。「解の一部が先に分かっているなら、因数も先に分かる」。因数定理の応用だ。

① 4次式を作る。

$$f(f(x))-x=(x^2-2{)}^2-2-x=x^4-4x^2-x+2$$

② $f(x)-x$ で割る。 $f(x)-x=x^2-x-2$ で割ると(組立てでも係数比較でも)

$$x^4-4x^2-x+2=(x^2-x-2)(x^2+x-1)$$

検算: 展開すると $x^4+x^3-x^2-x^3-x^2+x-2x^2-2x+2=x^4-4x^2-x+2$ ✓。

③ 2つの2次方程式を解く。

• $x^2-x-2=0⟺(x-2)(x+1)=0⟺x=2,-1$。これらは $f(x)=x$ の解(1回で戻る点)
• $x^2+x-1=0⟺x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$。こちらは $f(x)\ne x$ だが、2回で戻る点。実際、$\alpha =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ と $\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ は $f$ で互いに入れ替わる($\alpha +\beta =-1,\alpha \beta =-1$ から確かめられる)

以上より、実数解は $x=2,-1,\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ の4個。

まとめ: 反復合成の方程式は、不動点の因数を先取りして割る。これが定石だ。残った因数の解は「2回で入れ替わるペア」($\alpha \mapsto \beta \mapsto \alpha$)になっている。この構造まで見えると、方程式が点の往復という絵で立体的に読めてくる。

別解

割り算をしない別ルート(得意な人向け)。 2回で戻る(が、1回では動く)値のペアを $\alpha ,\beta$ とする。定義から

$${\alpha }^2-2=\beta ,{\beta }^2-2=\alpha$$

この対称な連立を「足す・引く」で崩す。まず引き算すると ${\alpha }^2-{\beta }^2=\beta -\alpha$。左辺を因数分解して $(\alpha -\beta )(\alpha +\beta )=-(\alpha -\beta )$。$\alpha \ne \beta$ だから割れて

$$\alpha +\beta =-1$$

次に足し算すると ${\alpha }^2+{\beta }^2-4=\alpha +\beta =-1$。つまり ${\alpha }^2+{\beta }^2=3$ で

$$\alpha \beta =\frac{(\alpha +\beta {)}^2-({\alpha }^2+{\beta }^2)}{2}=\frac{1-3}{2}=-1$$

和が $-1$、積が $-1$。ペアは $t^2+t-1=0$ の2解 $\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ だ。これに不動点($f(x)=x$ の解 $x=2,-1$)を合わせて4個。

対称な連立は「足す・引く」で対称式に潰す。4次式を一度も展開せずに答えへ着く、力学の香りのする解法である。