放物線とx軸の共有点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「グラフと $x$ 軸の共有点」は、$y=0$ とおいた方程式の実数解そのもの。

$$\text{共有点の個数}=\text{方程式}a{x}^2+bx+c=0\text{の実数解の個数}$$

だから判別式で個数を判定し、解があればその値が共有点の $x$ 座標になる。

座標を答えるときの注意 — 共有点は $x$ 軸上の点だから、$y$ 座標は必ず $0$。$(-2,0)$ のように、$y$ 座標の $0$ を必ず書く。

$x$ 軸との共有点は、$y=0$ とおいた2次方程式の解。

(1)

$x^2-2x-8=0$ を解く。

$$x^2-2x-8=0(x+2)(x-4)=0$$

$x=-2,4$ の2解。だから共有点は2個で、$(-2,0)$、$(4,0)$。

(2)

$x^2-6x+9=0$ を解く。

$$x^2-6x+9=0(x-3{)}^2=0$$

$x=3$ の重解。共有点は1個で $(3,0)$(放物線が $x$ 軸に接する)。

(3)

$x^2-4x+6=0$ の判別式を見る。

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 6=16-24=-8<0$$

$D<0$ なので実数解なし。共有点は0個(放物線が $x$ 軸より上にある)。

まとめ:共有点の個数は『$y=0$ の2次方程式の実数解の個数』。$D>0$ で2個(交わる)、$D=0$ で1個(接する)、$D<0$ で0個(交わらない)、と対応する。

発展 — 一歩先へ。 (2)の「接する」($D=0$)は、$2$ つの交点が重なった状態と読める。$y=x^2-6x+9=(x-3{)}^2$ — グラフを少し下げれば($y=(x-3{)}^2-1$ など)交点が $2$ つに割れ、少し上げれば $0$ になる。接するのは、$2$ 個と $0$ 個の境目の瞬間だ。

「グラフと $x$ 軸の位置関係」は、次の $2$ 次不等式の解法そのものになる。$x^2-2x-8<0$ の解は「$y=x^2-2x-8$ のグラフが $x$ 軸より下にある $x$ の範囲」— 共有点 $-2,4$ の間だ。方程式で交点を求め、不等式で範囲を読む — この $2$ 段が $2$ 次不等式の骨格である。

別解

(3)で「共有点なし」となる理由を、平方完成の絵で確かめておこう。判別式の計算とは独立の検証になる。

$$y=x^2+4x+6=(x+2{)}^2+2$$

頂点は $(-2,2)$ で、$x^2$ の係数が正だから下に凸。

つまり、この放物線のいちばん低い点でも $y=2$ — $x$ 軸($y=0$)より $2$ だけ浮いている。どこまで行っても $x$ 軸に届かない。

$$y=(x+2{)}^2+2\geqq 2>0$$

$y$ は常に正 — だから $y=0$ になる $x$ は存在しない。共有点 $0$ 個だ。

判別式 $D=16-24=-8<0$ と同じ結論だが、平方完成ルートは「なぜ交わらないのか」を説明してくれる。

この見方は $3$ つの場合すべてに使える。

• (1) 頂点の $y$ 座標がマイナス → 谷底が $x$ 軸より下 → 突き抜けて $2$ 交点
• (2) 頂点の $y$ 座標がゼロ → 谷底がちょうど $x$ 軸 → 接して $1$ 点
• (3) 頂点の $y$ 座標がプラス → 谷底が浮いている → $0$ 点

「判別式の符号」と「頂点の高さの符号」は同じことを言っている(下に凸のとき、$D$ と頂点の $y$ 座標は符号が逆)。$2$ つの道具の関係を押さえておくと、次の $2$ 次不等式で「常に正」を判定するときに強い。