判別式と実数解の個数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 解を求めずに、個数だけを知りたい — そのための道具が判別式だ。

$$D=b^2-4ac$$

これは解の公式の根号の中身。根号の中が正なら $\pm$ で $2$ 解、$0$ なら $1$ 解(重解)、負なら平方根がとれず実数解なし。

• $D>0$ → $2$ 個
• $D=0$ → $1$ 個(重解)
• $D<0$ → $0$ 個

計算するのは $D$ の符号だけ — 値そのものは要らない。

実数解の個数は判別式 $D=b^2-4ac$ の符号で決まる。

(1) $a=1,b=3,c=1$。

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5>0$$

$D>0$ なので実数解は2個。

(2) $a=4,b=-12,c=9$。

$$D=(-12{)}^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0$$

$D=0$ なので1個(重解)。

(3) $a=2,b=-3,c=4$。

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot 4=9-32=-23<0$$

$D<0$ なので0個(実数解なし)。

まとめ:$D$ の符号を見るだけで、方程式を解かずに解の個数がわかる。$D=b^2-4ac$ の計算(特に符号)を正確に。

発展 — 一歩先へ。 (2)の $4x^2-12x+9=(2x-3{)}^2$ — $D=0$ の方程式は必ず完全平方の形になる。「$D=0$ ⟺ 完全平方」は、因数分解できるかの判定にも使える。

$D<0$ でも「解がない」わけではない — 数IIで虚数を学ぶと、$D<0$ の方程式にも $2$ 個の解(共役な複素数解)があることが分かる。今は「実数の範囲では解なし」と正確に言う必要がある。数の世界を広げると、解の個数の答えが変わる — この事実は、数学が「どの範囲で考えるか」に依存することの好例だ。

別解

判別式の意味は、グラフと $x$ 軸の交わり方を見れば絵になる。

$y=a{x}^2+bx+c$ の放物線と、$x$ 軸($y=0$)の交点の個数 — それが実数解の個数だ。

• $D>0$: 放物線が $x$ 軸を突き抜ける → 交点 $2$ 個
• $D=0$: 放物線が $x$ 軸に接する → 交点 $1$ 個(重解)
• $D<0$: 放物線が $x$ 軸に届かない(浮いているか沈んでいる)→ 交点 $0$ 個

(3)の $y=2x^2-3x+4$ を平方完成すると

$$y=2{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{23}{8}$$

頂点の $y$ 座標が $\frac{23}{8}>0$ で下に凸 — 谷底が $x$ 軸より上に浮いている。だから $x$ 軸と交わらず、解なし。$D=9-32<0$ という計算と、完全に同じことを言っている。

$D<0$ の意味は「$y$ の値が常に同じ符号になる($0$ にならない)」ということ。この事実は、次の $2$ 次不等式($x^2-4x+7>0$ が常に成立、など)で直接使う武器になる。

判別式は「解の個数」だけでなく「グラフの高さ」を教えている — この翻訳ができると、$2$ 次の問題の見通しが一段よくなる。