数学I / 2次方程式・2次不等式

整数解をもつ条件(解と係数と整数)

実戦編2次方程式解と係数整数の性質単元横断

問題

$2$ 次方程式 $x^{2} - a x + a = 0$ が(重解も含めて)整数の解をもつような正の整数 $a$ をすべて求めよ。

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整数解 $p, q$ なら $p + q = a$ かつ $pq = a$ 。 $p + q = pq$ から $(p - 1) (q - 1) = 1$ 。整数で積が $1$ になる組は?

解答・解説

方針

解と係数の関係で $p + q = a, pq = a$ 。 $2$ つが等しいので $p + q = pq$ 、これを因数分解 $(p - 1) (q - 1) = 1$ して整数の組を求める。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 整数解を $p, q$ とおくと、解と係数の関係で $p + q = a$ 、 $pq = a$ — 和と積が同じ値になっている。

$a$ を消すと $p + q = pq$ 。この形の整数問題は、因数分解できる形に移項するのが定石だ:

$pq - p - q + 1 = 1$ 、すなわち $(p - 1) (q - 1) = 1$ 。整数の積が $1$ になる組は $1 \times 1$ か $(- 1) \times (- 1)$ の2通りしかない — 候補が一気に絞れる。

重要

pq - p - q = 0 ⟺ (p - 1) (q - 1) = 1

(両辺に

1

を足す)

① 解と係数。 整数解を $p, q$ とすると $p + q = a, pq = a$ 。

② 因数分解。 $p + q = pq$ より $pq - p - q = 0$ 、両辺に $1$ を足して $(p - 1) (q - 1) = 1.$ ③ 整数の組。 積が $1$ の整数の組は $(p - 1, q - 1) = (1, 1)$ または $(- 1, - 1)$ 。

$(1, 1)$ : $p = q = 2$ 、 $a = pq = 4$ 。
$(- 1, - 1)$ : $p = q = 0$ 、 $a = 0$ ( $a$ は正でないので不適)。

よって正の整数 $a$ は $a = 4$ のみ( $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ )。

まとめ 整数解 $p, q$ から $p + q = pq$ 、 $(p - 1) (q - 1) = 1$ で $p = q = 2$ 、 $a = 4$ 。解と係数と整数(因数分解)の融合。

発展 — 一歩先へ。 $p + q = pq$ は両辺を $pq$ で割ると $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ — 「逆数の和が1になる整数の組」という単位分数の問題と同じものだ。 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{n}$ 型( $(p - n) (q - n) = n^{2}$ )に一般化すると、約数の個数だけ解が現れる。「分数の条件は分母を払って長方形の面積の式 $(p - *) (q - *) = *$ に」— 整数問題の頻出の型だ。

答

整数解 $p, q$ とすると $p + q = a, pq = a$ 。 $p + q = pq$ から $(p - 1) (q - 1) = 1$ 、整数解は $p = q = 2$ 。よって $a = 4$ のみ。

別解

判別式が平方数、から攻める。 整数解をもつためには、まず実数解 — さらに(最高次の係数が1だから)解は $\frac{a \pm D}{2}$ の形で、 $D = a^{2} - 4 a$ が平方数であることが必要だ。

$D = k^{2}$ ( $k \geq 0$ )とおくと

$a^{2} - 4 a - k^{2} = 0 ⟺ (a - 2)^{2} - k^{2} = 4 ⟺ (a - 2 - k) (a - 2 + k) = 4$

2整数の積が $4$ で、2つの因数の差は $2 k$ (偶数)— だから両方偶数で $2 \times 2$ か $(- 2) \times (- 2)$ 。 $a - 2 = \pm 2, k = 0$ 、正の整数では $a = 4$ (このとき重解 $x = 2$ )。

解と係数の $(p - 1) (q - 1) = 1$ (本解)は解の側から、判別式=平方数は係数の側から、同じ $a = 4$ を挟み撃ちにする。「モニックな整数係数2次が整数解をもつ ⟺ 判別式が平方数」は、整数解問題の万能の入り口だ。

ポイント

整数解 $p, q$ で $p + q = a = pq$ 。
$(p - 1) (q - 1) = 1$ に因数分解。
正の整数解は $a = 4$ のみ( $x = 2$ の重解)。

よくある間違い

$(p - 1) (q - 1) = 1$ の整数解で $(- 1) \times (- 1)$ の組(→ $p = q = 0$ 、このとき $a = 0$ )を検討せず落とす(結果的に $a > 0$ で除外だが、検討は要る)。
「整数解をもつ」を「2解とも整数」と読み違える…ことはないが、モニックだから片方が整数なら他方も整数( $p + q = a$ )という一言を飛ばす。
移項の因数分解 $pq - p - q + 1 = 1$ で $+ 1$ の調整( $1$ を両辺に足す)を誤る。