数学I / 2次方程式・2次不等式

区間にちょうど1つの解をもつ条件

最難関編解の配置境界の吟味

問題

$a$ を実数の定数とする。2次方程式 $x^{2} + a x + 1 = 0$ が $0 < x < 2$ の範囲にちょうど1つの解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ(重解が範囲内にある場合も「ちょうど1つ」に数える)。

ヒントを見る

$f (0)$ の値は $a$ によらず決まっている — これで場合分けが半分減る。「ちょうど1つ」を壊す敵は2つ: 解が2つとも入る場合と、1つも入らない場合。境界(端点で解をもつ・重解)がどちらに算入されるかを、実際に解を求めて確かめること。

解答・解説

方針

f(x)=x²+ax+1 とおくと f(0)=1>0 が固定されている、が出発点。またぎ型 f(0)f(2)<0 は f(2)<0 に退化。境界 f(2)=0(a=−5/2)は「もう一方の解 1/2 が範囲内」なので採用。さらに重解が範囲内に落ちる a=−2 を拾い、両解が範囲内(2個)の帯を除外する。境界と重解の丁寧な吟味がすべて。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 解の配置は $f (x) = x^{2} + a x + 1$ のグラフで読む。この問題には大きな特徴がある。 $f (0) = 1 > 0$ が、 $a$ によらず最初から決まっていることだ。

左端はつねに正。だから「またぎ型(区間内に1つ)」の条件は $f (2) < 0$ の1本だけに退化する。

残る仕事は境界の吟味だ。 $f (2) = 0$ となる $a = - \frac{5}{2}$ では、解 $x = 2$ 自体は範囲外(開区間)。だが、もう一方の解が範囲内かを確かめる必要がある。さらに、重解が範囲内に落ちる $a = - 2$ も「ちょうど1つ」に数える約束だった。境界はすべて、実際に解を出して検分する。その几帳面さが答えを決める。

重要

f (0) = 1 > 0

固定 → またぎ型は

f (2) < 0

のみ。境界(

f (2) = 0

・重解)は解を実際に求めて「ちょうど1つ」かを判定する

① またぎ型。 $f (0) = 1 > 0$ だから、 $f (2) = 5 + 2 a < 0 ⟺ a < - \frac{5}{2}$ のとき $(0, 2)$ にちょうど1つの解が入る。もう1つの解は $(2, \infty)$ 側だ。範囲内はちょうど1つ ✓。

② 境界 $a = - \frac{5}{2}$ 。 方程式は $x^{2} - \frac{5}{2} x + 1 = 0 ⟺ 2 x^{2} - 5 x + 2 = (2 x - 1) (x - 2) = 0$ 。解は $x = \frac{1}{2}, 2$ 。 $x = 2$ は範囲外(開区間)、 $x = \frac{1}{2}$ は範囲内。ちょうど1つ ✓ 採用。

③ 重解と2個の帯。 判別式 $a^{2} - 4 = 0$ の $a = - 2$ では重解 $x = 1 \in (0, 2)$ 。約束により「ちょうど1つ」✓ 採用( $a = 2$ の重解 $x = - 1$ は範囲外 ✗)。

一方、 $- \frac{5}{2} < a < - 2$ を調べる。 $f (0) > 0, f (2) > 0, D > 0$ 、軸 $0 < - \frac{a}{2} < 2$ がすべて成り立つ。つまり2つの解がともに範囲内だ。「ちょうど1つ」に反するから除外。 $a > - 2$ ( $a = 2$ 含む)では範囲内の解は0個(解が虚数、または負・範囲外)。

まとめて

$a = - 2 または a \leq - \frac{5}{2}$

y=x²+ax+1 の3つの表情。a=−3(青): 区間(0,2)を1回またぐ(もう1つの解は右外)。a=−2(赤): 重解 x=1 で接する — ちょうど1つ。a=−9/4(黒): 2解とも区間内で2個 — 除外

まとめ: 固定された $f (0)$ で場合を半減。またぎ型を作り、境界と重解を実解で検分し、2個入りの帯を除外する。答えが孤立点 $a = - 2$ と半直線という珍しい形になるのは、重解の一瞬だけ「ちょうど1つ」が復活するからだ。境界の吟味を省くと、必ずどちらかを落とす。解の配置の総仕上げである。

答

$a = - 2$ または $a \leq - \frac{5}{2}$

別解

定数分離 — 1本の曲線と水平線で全場合を見る(視点の転換)。 $0 < x < 2$ では $x \neq = 0$ 。だから $a$ を分離できる:

$x^{2} + a x + 1 = 0 ⟺ x + \frac{1}{x} = - a$

左辺 $u (x) = x + \frac{1}{x}$ のグラフと、水平線 $y = - a$ の交点の個数。それがそのまま解の個数になる。場合分けが「線と曲線の交わり」という1枚の絵に置き換わるのだ。

$u$ の形を調べる。 $x = 1$ で最小値2(相加平均と相乗平均の関係。等号は $x = \frac{1}{x}$ すなわち $x = 1$ )。増減は $u (s) - u (t) = (s - t) \cdot \frac{s t - 1}{s t}$ の符号から分かる。 $0 < x < 1$ で減少、 $1 < x < 2$ で増加だ。左端側は、 $x$ が0に近づくと限りなく大きくなる。右端では $u (2) = \frac{5}{2}$ だが、 $x = 2$ は範囲外なので右の枝は $\frac{5}{2}$ に届かない。

u(x)=x+1/x(0<x<2)。谷底 (1, 2)。右端 (2, 5/2) は白抜き(範囲外で届かない)。水平線 y=−a との交点数: −a=2 で1個、2<−a<5/2 で2個、−a≥5/2 で1個(左の枝のみ)

水平線 $y = - a$ との交点がちょうど1個になるのは:

$- a = 2$ (谷底にぴったり): $x = 1$ の1個 → $a = - 2$
$- a \geq \frac{5}{2}$ (右の枝は $\frac{5}{2}$ 未満で途切れているから、左の枝としか交わらない): 1個 → $a \leq - \frac{5}{2}$

$2 < - a < \frac{5}{2}$ では両方の枝と交わって2個(除外)。 $- a < 2$ では0個。答えが「谷底の一瞬 $a = - 2$ 」と「半直線 $a \leq - \frac{5}{2}$ 」に割れる理由が、この1枚で一望できる。

ポイント

$f (0) = 1 > 0$ 固定 → またぎ型は $f (2) < 0$ ( $a < - \frac{5}{2}$ )。
$a = - \frac{5}{2}$ は解 $\frac{1}{2}$ が範囲内で採用、 $a = - 2$ は重解 $x = 1$ で採用。
$- \frac{5}{2} < a < - 2$ は2個入り(除外)→ 答えは孤立点+半直線。

よくある間違い

開区間 $0 < x < 2$ を見落とし、 $a = - \frac{5}{2}$ のとき「 $x = 2$ も解だから2個」と誤って除外する。実際は $x = 2$ は範囲外で、範囲内は $x = \frac{1}{2}$ の1個だけ。
重解の $a = - 2$ を検討し忘れる(または重解を2個と数えて捨てる)。「重解も1つに数える」という問題の約束を最初に確認する。
またぎ型 $f (2) < 0$ だけで答えを閉じる。 $- \frac{5}{2} < a < - 2$ の「2個入り」の帯の除外検討( $f (0), f (2), D$ 、軸の4点セット)を飛ばしてはいけない。