2次不等式の整数解がちょうど3個となる条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 因数分解すると、解は「$1$ と $a$ の内側」になる。

問われているのは、その内側に整数がちょうど $3$ 個入る、という個数の条件だ。

そこで数直線に整数の目盛りを打つ。端 $a$ がどこからどこまで動けるかを、目で決めていく。

端 $a$ がちょうど整数に当たる瞬間に、その整数を含むか含まないかが切り替わる。境界の吟味が答えの生死を分ける。

因数分解する。

$$(x-1)(x-a)<0$$

交点は $1$ と $a$。$<0$ は内側で、$a$ の大小により範囲が変わる。この内側に整数がちょうど3個入る $a$ を、数直線で調整する。

$a>1$ のとき:

内側は $1<x<a$。この中の整数は $2,3,4,\dots$。ちょうど3個(2, 3, 4)にするには、4は含み5は含まない、つまり $4<a\le 5$。($a=5$ なら $1<x<5$ で整数2,3,4の3個。$a$ がちょうど4だと4が入らず2個。)

$a<1$ のとき:

内側は $a<x<1$。この中の整数は $0,-1,-2,\dots$。ちょうど3個(0, -1, -2)にするには、$-2$ を含み $-3$ を含まない、つまり $-3\le a<-2$。

(なお $a=1$ のときは $(x-1{)}^2<0$ で解なし、整数0個。)まとめて

$$-3\leqq a<-2\text{または}4<a\leqq 5$$

まとめ:整数がちょうど◯個、という問題は、範囲の端を数直線で1つずつ調整する。端の整数を『含む・含まない』の境目を、等号の向きも含めて慎重に決めるのがポイントだ。

発展 — 一歩先へ。 内側に入る整数の個数を、$a$ の関数として眺めてみる。$a$ を少しずつ大きくすると、端 $a$ が整数 $2,3,4,5,\dots$ を通り越すたびに、個数が $1$ ずつ増える。

つまり個数は $a$ に対して、なめらかに増えるのではなく、$1$ 段ずつ跳ね上がる階段状の関数になる。「ちょうど $3$ 個」は、その階段のある $1$ 段に対応する。

答えが $-3\le a<-2$ や $4<a\le 5$ のように、片側だけ等号が付く半開区間になるのも、この階段のためだ。端の整数を含む側と含まない側で、境界の扱いが左右で非対称になる。

別解

別解 — 整数ごとに「解に入る条件」を調べて数える(数え上げのルート)。 どの整数がいつ解に入るかを、$1$ つずつ判定する。

整数 $x=n$ が $(x-1)(x-a)<0$ を満たすのは、$n$ が $1$ と $a$ の間にあるとき。$n\ge 2$ なら $n-1>0$ だから $n-a<0$、すなわち $a>n$ が条件。$n\le 0$ なら $n-1<0$ だから $n-a>0$、すなわち $a<n$ が条件($n=1$ は積が $0$ になり、決して解にならない)。

まず $a>1$ の側。整数 $2,3,4,5,\dots$ は、$a$ がそれぞれ $2,3,4,5,\dots$ を超えるたびに $1$ つずつ解に加わる。$\{2,3,4\}$ のちょうど $3$ 個だけにするには、$4$ は入れて $5$ は入れない、つまり $a>4$ かつ $a\le 5$。よって $4<a\le 5$。

つぎに $a<1$ の側。整数 $0,-1,-2,-3,\dots$ は、$a$ がそれぞれ $0,-1,-2,-3,\dots$ を下回るたびに $1$ つずつ加わる。$\{0,-1,-2\}$ の $3$ 個にするには $-2$ は入れて $-3$ は入れない、つまり $a<-2$ かつ $a\ge -3$。よって $-3\le a<-2$。

端を動かして眺める本解と違い、整数ごとのしきい値を数えると、$a>1$ 側と $a<1$ 側を取り違えずに $-3\le a<-2$、$4<a\le 5$ が出る。