数学I / 2次方程式・2次不等式

絶対不等式(すべての実数で成り立つ条件)

★★ 標準絶対不等式

問題

すべての実数 $x$ に対して、不等式 $x^{2} - 2 (k - 1) x + k + 5 > 0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

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『すべての実数で $> 0$ 』→ 下に凸で $D < 0$ 。 $\frac{D}{4} = (k - 1)^{2} - (k + 5)$ を計算して $< 0$ を解く。 $b$ が偶数なので $\frac{D}{4}$ を使うと楽。

解答・解説

『すべての実数で $> 0$ 』は、下に凸の放物線が $x$ 軸と交わらない = $D < 0$ 。 $D$ を $k$ で表して $D < 0$ を解く。 $x^{2}$ の係数が正(下に凸)であることも確認する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「すべての実数で $> 0$ 」を、グラフの言葉に翻訳する。「放物線が $x$ 軸から浮いている」だ。

浮いている条件は、交点がないこと。つまり $D < 0$ 。

$x$ の係数に文字 $k$ が入っていても、手順は変わらない。 $D$ を $k$ で表して、その2次不等式を丁寧に解くだけだ。 $x^{2}$ の係数が正(下に凸)であることの確認も、答案では一言添える。

「すべての実数 x で y > 0」⇔ グラフ全体が x 軸より上 ⇔ D < 0

公式すべての実数で

a x^{2} + b x + c > 0

(

a > 0

)

⟺

D < 0

『すべての実数 $x$ で $> 0$ 』は、下に凸の放物線が $x$ 軸と交わらないこと。 $x^{2}$ の係数は1で正(下に凸)。共有点なしの条件は

$D < 0$

判別式( $b = - 2 (k - 1)$ が偶数なので $\frac{D}{4}$ )を計算する。

$\frac{D}{4} = {- (k - 1)}^{2} - (k + 5) = k^{2} - 2 k + 1 - k - 5 = k^{2} - 3 k - 4 = (k + 1) (k - 4)$

$\frac{D}{4} < 0$ より

$(k + 1) (k - 4) < 0$

$< 0$ は内側なので

$- 1 < k < 4$

まとめ:『すべての実数で $> 0$ 』= 下に凸で $D < 0$ 。判別式を $k$ で表して不等式を解く。

発展 — 一歩先へ。 「常に正」を示す2つの道(判別式 $D < 0$ 、最小値が正)は、どちらも今後の主力だ。数IIの証明問題では最小値ルートが、条件処理では判別式ルートが活躍することが多い。

発展形は、 $x^{2}$ の係数にも文字が付くタイプだ。係数が $0$ なら1次式、負なら上に凸となり、「2次で下に凸」の場合分けが最初に必要になる。今回の「係数が正の確認」は、その伏線である。

答

$- 1 < k < 4$

別の見方として、 $f (x)$ の最小値(頂点の $y$ 座標)が正、と考えてもよい。頂点の $y$ 座標は $- (k - 1)^{2} + k + 5$ 。これが正なら、下に凸の放物線全体が正になる。

$- (k - 1)^{2} + k + 5 = - k^{2} + 3 k + 4$

これが $> 0$ なら

$- k^{2} + 3 k + 4 > 0$

両辺 $- 1$ 倍して $k^{2} - 3 k - 4 < 0$ 、 $(k + 1) (k - 4) < 0$ 、 $- 1 < k < 4$ 。判別式でも最小値でも、同じ答えになる。