放物線とx軸の共有点・接する条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$x$ 軸と接する」という図形の言葉を、「重解をもつ($D=0$)」という方程式の言葉に翻訳する。これが第一歩だ。

接点の $x$ 座標は、重解そのもの。

$D=0$ のとき解の公式の $\pm \sqrt{}$ が消えて、軸の位置だけが残る。「接する・重解・$D=0$・頂点が軸上」は全部同じことの言い換えだと結びつけておく。

(1)

$y=-x^2+4x+5$ で $y=0$ とおく。$x^2$ の係数を正にするため $-1$ をかけて

$$x^2-4x-5=0$$

因数分解して

$$(x+1)(x-5)=0$$

$x=-1,5$。共有点の座標は

$$(-1,0),(5,0)$$

(2)

『$x$ 軸と接する』は共有点1個、つまり重解、つまり $D=0$。$y=x^2-6x+k$ で $b=-6$ は偶数なので $\frac{D}{4}$ で計算する。

$$\frac{D}{4}=(-3{)}^2-k=9-k$$

接する条件 $\frac{D}{4}=0$ から

$$9-k=0k=9$$

このとき接点(重解)は $x=-\frac{b}{2}=3$ で、$y=0$ だから

$$(3,0)$$

まとめ:『接する』= 重解 = $D=0$、と翻訳するのがカギ。接点の $x$ 座標は重解 $x=-\frac{b}{2}$ で求まる。

発展 — 一歩先へ。 「接する」という概念は、ここが出発点だ。数学IIでは円と直線が接する条件(距離=半径、または $D=0$)、さらに微分では曲線の接線として、形を変えながら何度も登場する。

どの場面でも本質は同じで、「共有点が1つに退化する瞬間」を式でとらえている。判別式ルートと頂点ルートの2本を持っておくと、場面ごとに速いほうを選べる。

別解

(2)は平方完成でも解ける。 $y=x^2-6x+k=(x-3{)}^2+k-9$ と変形すると、頂点は $(3,k-9)$ である。下に凸の放物線が $x$ 軸と接するのは頂点がちょうど $x$ 軸に乗るときなので、$k-9=0$ より $k=9$ で、接点は頂点そのもの、すなわち $(3,0)$ である。「接する=頂点が軸上」という図形的な見方も、判別式と並ぶ有力な道具である。