数学I / 2次方程式・2次不等式

2次不等式の文章題(長方形の面積)

★★ 標準文章題2次不等式

問題

周囲の長さが $40 m$ の長方形の土地を作る。縦の長さを $x m$ とするとき、この土地の面積が $96 m^{2}$ 以上となるような $x$ の値の範囲を求めよ。

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横を $x$ で表し、面積 $\geq 96$ を2次不等式に。整理して因数分解できる形にすると解きやすい。長さの意味も確認。

解答・解説

周40mの長方形。縦 $x$ なら、縦2辺で $2 x$ 使うので、横1辺は $(40 - 2 x) \div 2 = 20 - x$ 。面積 $x (20 - x)$ が96以上の条件を、2次不等式にして解く。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文章題の骨格は「横を $x$ で表す → 面積の不等式を立てる」の2段だ。

周の長さが $40$ m と固定されているから、縦を $x$ とすれば横は $20 - x$ と自動的に決まる。変数は1つで済む。

不等式 $x (20 - x) \geq 96$ ができたら、あとは2次不等式の作業。最後に、長方形が成立する範囲( $x$ も横も正)と交わらせるのを忘れない。

x² − 20x + 96 ≤ 0 となるのは 8 ≤ x ≤ 12

① 周の長さから、横の長さを $x$ で表す。 縦2辺で $2 x$ 使うので、横2辺の合計は $40 - 2 x$ 、横1辺は

$(40 - 2 x) \div 2 = 20 - x (m)$

② 面積の条件を不等式にする。 面積が96以上の条件は

$x (20 - x) \geq 96$

展開・整理する。

$- x^{2} + 20 x - 96 \geq 0$

③ 2次不等式にして解く。 両辺に $- 1$ をかけて(向きが逆になる)

$x^{2} - 20 x + 96 \leq 0$

因数分解して

$(x - 8) (x - 12) \leq 0$

$\leq 0$ は内側なので

$8 \leq x \leq 12$

(縦 $x$ も横 $20 - x$ もこの範囲で正。)

まとめ:周から横の長さ $20 - x$ を出し、面積の条件を2次不等式にするのが流れだ。

発展 — 一歩先へ。 別解の「和が一定なら半々が最大」は、数学IIで相加平均・相乗平均の関係として定理になる。面積・利益・材料の配分など、「分け方で積を最大にする」問題すべての背骨だ。

「 $96$ 以上になる範囲」は、最大値 $100$ の山を高さ $96$ で水平に切った断面でもある。不等式と最大最小が同じグラフの別の読み方だ、という見方を持っておくと応用が利く。

答

$8 \leq x \leq 12$

「正方形からのずれ」で読むと、計算がほとんど要らなくなる。

縦と横の和は $20$ で固定。ちょうど半分ずつの $10 \times 10$ (正方形)のとき、面積は最大の $100$ になる。

縦を $10 + d$ とずらすと横は $10 - d$ で、面積は $(10 + d) (10 - d) = 100 - d^{2}$ 。ずれの2乗の分だけ、必ず面積が減る。

面積が $96$ 以上という条件は $100 - d^{2} \geq 96$ 、つまり $d^{2} \leq 4$ 、 $- 2 \leq d \leq 2$ 。

縦に戻せば $8 \leq x \leq 12$ 。「和が一定なら、半々が最大。ずれの2乗だけ損をする」という1つの風景で、最大値の問題も範囲の問題も同じように読める。