解と係数の関係で対称式(高次のべき和)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\alpha ,\beta$ の値そのもの($\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$)を5乗するのは苦行だ。対称式は、和と積だけで回す。

$s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ と名付けると、$\alpha ,\beta$ が $x^2=3x-1$ を満たすことから

$s_n=3s_{n-1}-s_{n-2}$ — べき和の漸化式が立つ(${\alpha }^n=3{\alpha }^{n-1}-{\alpha }^{n-2}$ を辺々足すだけ)。

$s_0=2,s_1=3$ から、はしごを1段ずつ: $s_2=7,s_3=18,s_4=47,s_5=123$。根号は最後まで現れない。

① 漸化式。 $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおく。$\alpha ,\beta$ は $x^2=3x-1$ を満たすので ${\alpha }^n=3{\alpha }^{n-1}-{\alpha }^{n-2}$、$\beta$ も同様。足して $$s_n=3s_{n-1}-s_{n-2}.$$ ② 土台。 $s_0={\alpha }^0+{\beta }^0=2$、$s_1=\alpha +\beta =3$。

③ 順に計算。 $$s_2=3\cdot 3-2=7,s_3=3\cdot 7-3=18,s_4=3\cdot 18-7=47,s_5=3\cdot 47-18=123.$$ よって ${\alpha }^5+{\beta }^5=123$。

まとめ 解と係数で $\alpha +\beta =3,\alpha \beta =1$、べき和 $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ は $s_n=3s_{n-1}-s_{n-2}$。順に計算して $s_5=123$。解と係数と対称式(漸化式)の融合。

発展 — 一歩先へ。 数列 $2,3,7,18,47,123,\dots$ はリュカ数列と呼ばれ、フィボナッチ数列の兄弟だ($\alpha ,\beta$ が黄金比の親戚 $\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}={\phi }^2,{\phi }^{-2}$ になっている)。「無理数のべき和が必ず整数になる」のは、共役どうしの和で根号が相殺するから — この観察は「$(2+\sqrt{3}{)}^n$ の整数部分」型の名作問題の心臓部でもある。

別解

べき和どうしの掛け算で(はしごを飛ばす)。 $s_2=7,s_3=18$ まで出ていれば、$s_5$ へは掛け算でジャンプできる。

$$s_2{s}_3=({\alpha }^2+{\beta }^2)({\alpha }^3+{\beta }^3)={\alpha }^5+{\beta }^5+{\alpha }^2{\beta }^2(\alpha +\beta )=s_5+(\alpha \beta {)}^2{s}_1$$

数値を入れると $7\times 18=s_5+1\times 3$、よって

$$s_5=126-3=123$$

漸化式のはしご(本解)は1段ずつ確実、べき和の積は「$s_m{s}_n=s_{m+n}+(\alpha \beta {)}^n{s}_{m-n}$」という一般式で段を飛ばす。$s_{10}$ なら $s_5^2=s_{10}+(\alpha \beta {)}^5{s}_0$ から一撃 — 大きな指数ほど、掛け算ジャンプの威力が効いてくる。