実数と1次不等式 — 根号・絶対値・不等式

次の5つの数について、以下の問いに答えよ。

$$-\frac{4}{3},\sqrt{7},0.5,\sqrt{16},\pi$$

(1) この中から無理数をすべて選べ。

(2) 循環小数 $0.\dot{4}\dot{5}$ を分数で表せ。

次の値を求めよ。

(1) $|-6|$

(2) $|3-8|$

(3) $|\sqrt{5}-3|$

(4) $|2-\sqrt{3}|+|1-\sqrt{3}|$

次の式を計算せよ。

(1) $\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{8}$

(2) $\sqrt{12}\times \sqrt{27}$

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

(4) $(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2$

次の式の分母を有理化せよ。

(1) $\frac{6}{\sqrt{3}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

(3) $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

(4) $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

次の二重根号を外して簡単にせよ。

(1) $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$

(2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$

(3) $\sqrt{6+\sqrt{20}}$

$\sqrt{7}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とする。

(1) $a$ と $b$ の値を求めよ。

(2) $b^2+4b$ の値を求めよ。

$x=\sqrt{5}+\sqrt{2}$、$y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x+y$ と $xy$

(2) $x^2+y^2$

(3) $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

次の1次不等式を解け。

(1) $4x-7<x+8$

(2) $2(x-3)\le 5x+9$

(3) $0.2x-0.5>0.7x+1$

(4) $\frac{x+2}{3}\ge \frac{3x-2}{5}$

次の不等式を解け。

(1) 連立不等式

$$\{\begin{array}{l}5x-3<2x+9\\ x+4\le 3x\end{array}$$

(2) 不等式 $-3<2x+1\le 7$

次の方程式を解け。

(1) $|x-2|=5$

(2) $|2x-3|=7$

次の不等式を解け。

(1) $|x|<4$

(2) $|x-1|\le 3$

(3) $|x+2|>5$

1本150円のボールペンと1本90円の鉛筆を合わせて20本買い、代金の合計を2500円以下にしたい。ボールペンをできるだけ多く買うとすると、ボールペンは最大何本買えるか。ただし、ボールペンも鉛筆も少なくとも1本は買うものとし、消費税は考えないものとする。

次の問いに答えよ。

(1) 循環小数 $0.\dot{6}\dot{3}$ を分数で表せ。

(2) 循環小数 $0.2\dot{7}$ を分数で表せ。

(3) 次の5つの数のうち、無理数であるものをすべて選べ。

$$\sqrt{25},\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}},\sqrt{3}+1,0.\dot{1}2\dot{3},\pi$$

次の式の値を求めよ。

(1) $|\sqrt{7}-3|+|\sqrt{7}-2|$

(2) $\sqrt{(2-\sqrt{7}{)}^2}-\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}$

次の式を計算せよ(分母に根号を含まない形にせよ)。

(1) $\frac{9}{2\sqrt{3}}$

(2) $\frac{6}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$

(3) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$

次の式の二重根号を外して簡単にせよ。

(1) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$

(2) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$

(3) $\sqrt{4+\sqrt{15}}$

$x=\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ とする。$x$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $a$、$b$ の値を求めよ。

(2) $b^2+4b$ の値を求めよ。

$x=\sqrt{5}+\sqrt{3}$、$y=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x^2+y^2$

(2) $x^3+y^3$

(3) $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$

$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x+\frac{1}{x}$

(2) $x^2+\frac{1}{x^2}$

(3) $x^3+\frac{1}{x^3}$

次の1次不等式を解け。

(1) $5x-7>8x+5$

(2) $\frac{2x-1}{3}-\frac{x-2}{4}\le 1$

(3) $0.3x-1<0.5x+0.2$

次の連立不等式を解け。また、この連立不等式を満たす整数 $x$ は全部で何個あるか。

$$\{\begin{array}{l}2(x-1)\le 5x+7\\ \frac{3x-1}{2}<x+2\end{array}$$

次の方程式・不等式を解け。

(1) $|x-3|=7$

(2) $|2x+1|<5$

(3) $|x-4|\ge 3$

次の方程式・不等式を解け。

(1) $|x-2|=3x+6$

(2) $|x-1|\le 2x+4$

1個150円のケーキと1個90円のシュークリームを合わせて15個買い、代金の合計を1800円以下にしたい。ケーキをできるだけ多く買うとすると、ケーキは最大何個買えるか。ただし、ケーキとシュークリームはどちらも1個以上買うものとする。

次の問いに答えよ。

(1) 循環小数 $2.1\dot{3}\dot{6}$ を分数で表せ。

(2) 循環小数どうしの積 $0.\dot{2}\dot{7}\times 0.\dot{4}\dot{5}$ を分数で表せ。

(3) $\sqrt{1.\dot{7}}$ が有理数であることを示し、その値を分数で表せ。

次の問いに答えよ。

(1) $\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}+\sqrt{(2-\sqrt{7}{)}^2}$ を計算せよ。

(2) $a<b<0$ のとき、$|a|-|b|+|a-b|+\sqrt{b^2}$ を、絶対値記号と根号を用いない式で表せ。

(3) $-1<x<2$ のとき、$|x+1|+2|x-2|$ を簡単にせよ。

次の問いに答えよ。

(1) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ を計算せよ。

(2) $\frac{1}{\sqrt{9+2\sqrt{14}}}$ の分母を有理化して簡単にせよ。

(3) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ の二重根号を外して簡単にせよ。

$a=\frac{2}{3-\sqrt{7}}$ とする。

(1) $a$ の整数部分と小数部分を求めよ。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b^2+4b$ の値を求めよ。

(3) $\frac{1}{b}$ の小数部分を求めよ。

$x=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$、$y=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$ とする。

(1) $x+y$ と $xy$ の値を求めよ。

(2) $x^2+y^2$ と $x^3+y^3$ の値を求めよ。

(3) $x^5+y^5$ の値を求めよ。

次の問いに答えよ。

(1) 不等式 $|2x-3|\le x+4$ を解け。

(2) 方程式 $|x-2|+|x+3|=8$ を解け。

(3) $k$ を定数とする。$x$ の方程式 $|x-2|+|x+3|=k$ が実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を定数とし、$x$ についての連立不等式

$$\{\begin{array}{l}7x-5>3(x+1)\\ x+a\ge 4x-6\end{array}$$

を考える。

(1) $a=3$ のとき、この連立不等式を解け。

(2) この連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個であるような $a$ の値の範囲を求めよ。

1個 $180$ 円のりんごと1個 $90$ 円のみかんを合わせて $20$ 個買う。りんごの個数はみかんの個数以上とし、合計金額は $2900$ 円以下にしたい。

(1) 買うことのできるりんごの個数をすべて求めよ。

(2) 合計金額が最も高くなるのは、りんごを何個買うときか。また、そのときの合計金額を求めよ。

$x-\frac{1}{x}=1$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $x+\frac{1}{x}$ 　(2) $x^2+\frac{1}{x^2}$ 　(3) $x^3-\frac{1}{x^3}$

次の式を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}$ 　(2) $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$

方程式 $|x-1|+|x-3|=x+1$ を解け。

$x=\sqrt{13}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とする。

(1) $a$ を求めよ。　(2) $b^2+6b$ の値を求めよ。　(3) $\frac{1}{b}$ を根号を用いて表せ。

$x$ についての連立不等式

$$\{\begin{array}{l}3x-1>x+a\\ 2x+5\ge 4x-3\end{array}$$

を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個となるように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

次の式の分母を有理化せよ。

$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$

$a$ を定数とする。$x$ についての方程式 $|x-1|+|x-4|=a$ の実数解の個数を、$a$ の値によって調べよ。

不等式 $||x-1|-2|<1$ を解け。

$f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|$ の最小値を求めよ。

$a>0,b>0$ のとき $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求めよ。

実数 $a,b,c,d$ に対し $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求めよ。

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。方程式 $||x|-2|=a$ の実数解の個数を、$a$ の値によって分類せよ。

$a\ge 0,b\ge 0,c\ge 0$ のとき $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求めよ。

$[x]$ を $x$ を超えない最大の整数(ガウス記号)とする。$\sum _{k=1}^{100}\left[\sqrt{k}\right]$ を求めよ。

$x>0$ のとき $x+\frac{4}{x^2}$ の最小値を求めよ。

(1) 正の整数 $a,b,c,d$ が $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ を満たすとき、次の不等式を示せ。

$$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$$

(2) $\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}$ を満たす分数 $x=\frac{p}{q}$($p,q$ は正の整数)のうち、分母 $q$ が最小のものを求めよ。

実数 $x$ に対し、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。すべての実数 $x$ について、次の等式が成り立つことを示せ。

$$[x]+\left[x+\frac{1}{3}\right]+\left[x+\frac{2}{3}\right]=[3x]$$

$x$ を実数とするとき、$\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$ の最小値を求めよ。

$k$ を正の整数とし、$k^2<n<(k+1{)}^2$ を満たす整数 $n$($2k$ 個ある)を考える。

(1) $\sqrt{n}$ の小数部分がちょうど $\frac{1}{2}$ になることはないことを示せ。

(2) $2k$ 個の $n$ のうち、$\sqrt{n}$ の小数部分が $\frac{1}{2}$ より小さいものはちょうど $k$ 個であることを示せ。

(1) $\sqrt{30}$ が無理数であることを示せ。

(2) $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ が無理数であることを示せ。

小数 $\alpha =0.101001000100001\cdots$(1と1の間に並ぶ0の個数が $1,2,3,4,\dots$ と1個ずつ増えていく)は無理数であることを示せ。ただし、有理数の小数表示は必ず有限小数または循環小数になることは用いてよい。

$2^{100}$ は31桁の自然数であることを、対数を用いずに示せ。

実数 $a,b$ について、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$\frac{|a+b|}{1+|a+b|}\le \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$$