平方根の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平方根の計算は、まず「根号の中を小さくする」— 中を素因数分解して、$2$ 乗を外に出す。

$\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}$ のように整えると、(1)は全部が $\sqrt{2}$ の仲間になり、係数どうしの足し引きになる。

(3)(4)は展開公式がそのまま使える。$\sqrt{6}$ を $1$ つの数と思えば、和と差の積・$2$ 乗の公式は根号でも同じように働く。

(1) まず  ​ の中を小さくする。

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2},\sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2},\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$$

同じ $\sqrt{2}$ どうしになったので、係数を足し引きできる。

$$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(3+5-2)\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$

(2)  ​ の中を小さくしてからかける。

$$\sqrt{12}\times \sqrt{27}=2\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}=2\times 3\times (\sqrt{3}{)}^2=6\times 3=18$$

(3) 和と差のかけ算 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。

$$(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})=(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=6-2=4$$

(4) 2乗の公式 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$。

$$\begin{array}{rl}(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2& =(\sqrt{5}{)}^2+2\times \sqrt{5}\times \sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2\\ & =5+2\sqrt{15}+3\\ & =8+2\sqrt{15}\end{array}$$

まとめ:$(\sqrt{5}{)}^2=5$ のように、2乗すると根号が外れる。まん中の $2\sqrt{15}$ を忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 (3)の答えが $4$ と根号が消えたのは、和と差の積が $(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=6-2$ と $2$ 乗で根号を外すから。この「共役をかけて根号を消す」現象が、次の分母の有理化の原理になる — 今日の(3)は、明日の技術の予告編だ。

$\sqrt{2}$ が無理数(分数で書けない)ことは背理法で証明できる、数学史上有名な定理。「$\sqrt{2}$ を文字のように扱う」計算は、その無理数を正確に(近似値 $1.414$ ではなく)保ったまま操作するための技術である。$6\sqrt{2}$ という答えは、$8.485$ より厳密な表現なのだ。

別解

根号の扱いを 「$\sqrt{2}$ は文字 $a$ だと思え」 と読み替えると、ルールが $1$ つも増えない。

(1)は $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}$ — これは $3a+5a-2a=6a$ という同類項のまとめそのもの。だから $6\sqrt{2}$。

「$\sqrt{18}+\sqrt{50}=\sqrt{68}$」という誤りは、$3a+5a=8a$ とすべきところを「中身を足して」しまったもの。文字で言えば $3a+5a=a^8$ と書くようなルール違反だと分かる。

足し算は同類項どうし、掛け算は中で掛ける — この区別が根号計算のすべてだ。掛け算の方は中で掛けてよいので、(2)は先に中どうしをかけても出せる。

$$\sqrt{12}\times \sqrt{27}=\sqrt{12\times 27}=\sqrt{324}=18$$

$324=18^2$ に気づけば一気だ。ただし、かける数が大きくなるので、ふつうは先に根号の中を小さくするほうがラクである。

(4)の $(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2$ も、$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ に $a=\sqrt{5},b=\sqrt{3}$ を入れるだけ。$a^2=5$、$b^2=3$ と根号が消え、まん中の $2ab=2\sqrt{15}$ だけが残る。

「根号は新しい数だが、計算のルールは文字と同じ」— この一言で、根号アレルギーの大半は治る。