二重根号を外す

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 根号の中にまた根号 — この二重根号は、$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2$ を展開した形が中に隠れているサインだ。

$$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=a+b+2\sqrt{ab}$$

だから $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$ の形なら、根号が外れて $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ になる。

探すのは「たして外の数、かけて中の数」の $2$ 数 — 因数分解の $2$ 数探しとまったく同じ作業だ。内側の根号の前が $2$ になっていない(3)は、まず $2$ を作る変形から始める。

二重根号を外す公式:

$$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b},\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$

『たして外の数・かけて中の根号の数』になる2つを探すのがコツ。

(1) たして8、かけて15になる2数は、5と3。

$$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{(5+3)+2\sqrt{5\times 3}}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$$

(2) たして9、かけて14になる2数は、7と2。マイナスなので $\sqrt{7}-\sqrt{2}$(大きいほうから小さいほうを引く)。

$$\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{(7+2)-2\sqrt{7\times 2}}=\sqrt{7}-\sqrt{2}$$

(3) 中の根号の前に $2$ がない。まず $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ にして $2$ を作る。

$$\sqrt{6+\sqrt{20}}=\sqrt{6+2\sqrt{5}}$$

たして6、かけて5になる2数は、5と1。

$$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{5}+\sqrt{1}=\sqrt{5}+1$$

$2$ がついていないときは、まず $2$ を作る、という一手を忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 「たして $a+b$、かけて $ab$」の $2$ 数探し — これは因数分解の $2$ 数探しと同じ構造で、正体は $2$ 次方程式 $t^2-(a+b)t+ab=0$ を解くこと。二重根号・因数分解・$2$ 次方程式が、$1$ つの「$2$ 数を復元する」問題としてつながっている。

すべての二重根号が外れるわけではない。$\sqrt{5+2\sqrt{3}}$ は「たして $5$、かけて $3$」の $2$ 数が整数にならず、きれいな形にならない($2$ 数は $\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$ で、かえって複雑になる)。外れるのは、$2$ 数が扱いやすい数になるときだけ — 出題される二重根号は、その条件を満たすよう作られている。

別解

公式を暗記する代わりに、$2$ 乗して確かめるという素朴な検算法を持っておくと、符号の事故が消える。

(2)の $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ で、「たして $9$、かけて $14$」の $2$ 数は $7$ と $2$。ここで答えの候補が $2$ つ出る — $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ か、$\sqrt{2}-\sqrt{7}$ か。

判定は簡単: 根号( ​)の値は必ず $0$ 以上。$\sqrt{2}-\sqrt{7}$ は負($\approx -1.0$)だから失格 — 大きい方から小さい方を引く $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ が答えだ。

念のため $2$ 乗して確かめる。

$$(\sqrt{7}-\sqrt{2}{)}^2=7-2\sqrt{14}+2=9-2\sqrt{14}✓$$

元の中身に戻った — これで確定だ。

$2$ 乗の検算は $10$ 秒で済み、公式の符号($+$ か $-$ か)の記憶に頼らない。$(3)$ の $\sqrt{5}+1$ も $(\sqrt{5}+1{)}^2=6+2\sqrt{5}$ で確認できる。答えを $2$ 乗して元に戻るか — 二重根号の問題は、この一手で必ず自己採点できる。