根号を含む絶対値の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sqrt{A^2}$ を見たら反射的に $A$ としたくなる。でも正体は $|A|$ だ。中身が負なら符号が変わる。

だからこの問題の実質は「中身の符号調べ」になる。

最初の仕事は $\sqrt{7}$ の大きさの見当をつけること。$2^2=4$、$3^2=9$ だから、$\sqrt{7}$ は $2$ と $3$ の間にある。これで各絶対値の中身の正負が決まる。

$\sqrt{7}$ は $\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$ より

$$2<\sqrt{7}<3$$

(1) 中身の符号を調べる。$\sqrt{7}-3<0$(負)、$\sqrt{7}-2>0$(正)。だから

$$|\sqrt{7}-3|+|\sqrt{7}-2|=(3-\sqrt{7})+(\sqrt{7}-2)=1$$

$\sqrt{7}$ が消えて1になる。

(2) ここで大事なのは、$\sqrt{A^2}=|A|$(2乗の平方根は絶対値)ということ。

$$\sqrt{(2-\sqrt{7}{)}^2}-\sqrt{(3-\sqrt{7}{)}^2}=|2-\sqrt{7}|-|3-\sqrt{7}|$$

$2-\sqrt{7}<0$、$3-\sqrt{7}>0$ なので、絶対値を外すと

$$(\sqrt{7}-2)-(3-\sqrt{7})=2\sqrt{7}-5$$

まとめ:$\sqrt{A^2}$ を、そのまま $A$ としてしまうのが最大のミス。必ず $|A|$ にして、中身の符号で判断する。

発展 — 一歩先へ。 $\sqrt{x^2}=|x|$ は、この先も2次関数やデータの分析(偏差の大きさ)で繰り返し登場する基本装備だ。

そして別解の「距離の目」はもっと広く使える。絶対値の方程式・不等式の多くは、数直線上の距離の問題に翻訳できる。式で詰まったら図に翻訳する、という逃げ道を持っておこう。

別解

(1)は、数直線の「距離」で読むと答えが一瞬で見える。

$|\sqrt{7}-3|$ は $\sqrt{7}$ と $3$ の距離。$|\sqrt{7}-2|$ は $\sqrt{7}$ と $2$ の距離だ。

$\sqrt{7}$ は $2$ と $3$ の間にある。間にある点から両端までの距離を足すと、区間の長さそのものになる。

つまり答えは $3-2=1$。計算するまでもなく、図の形だけで決まる。

$\sqrt{7}$ が $2.6457\dots$ であることすら使っていない。「$2$ と $3$ の間にある」という事実だけで十分、というのがこの見方の強さだ。