有理数・無理数の判別と循環小数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)の判定は「分数で書けるか」の一点。書けるなら有理数、書けないなら無理数だ。

見た目に惑わされない。$\sqrt{16}=4$ は根号付きでも整数、$0.5=\frac{1}{2}$ は小数でも分数 — 中身を確かめてから判定する。

(2)は「循環小数は分数で書ける」ことの実演。$10$ 倍・$100$ 倍してずらし、引き算で無限に続く部分を消す — この一手で、無限小数が有限の分数に化ける。

(1) 無理数とは、分数(整数 ÷ 整数)で表せない数のこと。1つずつ見ていく。

• $-\frac{4}{3}$ は分数なので有理数。
• $\sqrt{7}$ は分数で表せないので無理数。
• $0.5=\frac{1}{2}$ で有理数。
• $\sqrt{16}=4$ は整数なので有理数(根号がついていても、中が平方数なら整数になる)。
• $\pi$(円周率)は無理数。

よって無理数は $\sqrt{7}$ と $\pi$。

(2) 循環小数 $0.\dot{4}\dot{5}=0.454545\dots$ を分数にする。$x=0.454545\dots$ とおく。くり返す部分が2桁なので、100倍してずらす。

$$\begin{array}{rl}100x& =45.454545\dots \\ x& =0.454545\dots \end{array}$$

上から下を引くと、循環する部分がぴったり消える。

$$99x=45$$

よって

$$x=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$$

まとめ:くり返しが2桁なら100倍、1桁なら10倍、と『くり返す桁数だけ0をつけた数』をかけるのがコツ。

発展 — 一歩先へ。 逆向きの事実も味わい深い — 分数はすべて、有限小数か循環小数になる。$\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}$($6$ 桁循環)のように。理由は割り算の余りにある: $7$ で割る余りは $0$〜$6$ の $6$ 通りしかないので、遅くとも $6$ 回で同じ余りが再登場し、そこから先は同じ数字が繰り返す — 循環は「余りの部屋が有限」の必然だ。

つまり「有理数 ⟺ 有限小数または循環小数」がぴったり同値。だから無理数($\pi$ や $\sqrt{7}$)の小数展開は、永遠に不規則で二度と繰り返さない。数の分類が、小数の姿にそのまま刻まれている。

別解

(2)には、覚えておくと一瞬で終わる「$9$ の法則」がある。

循環小数を分数にすると、分母は必ず $9,99,999,\dots$ の形になる — 循環する桁数だけ $9$ を並べるのだ。

• $0.\dot{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$($1$ 桁循環 → 分母 $9$)
• $0.\dot{4}\dot{5}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$($2$ 桁循環 → 分母 $99$)
• $0.\dot{1}2\dot{3}=\frac{123}{999}$($3$ 桁循環 → 分母 $999$)

分子は循環する部分の数字をそのまま置く。今回なら $\frac{45}{99}$、約分して $\frac{5}{11}$。

なぜ $9$ が並ぶのか — 本解の計算がそのまま答えだ。$100x-x=99x$ という引き算で、$100$ 倍と $1$ 倍の差 $=99$ 倍が分母に出てくる。法則の裏には、いつも $10$ 倍のずらし引きがいる。

法則で暗算し、不安なら本解のずらし引きで確かめる — 「$0.999\cdots =\frac{9}{9}=1$」という有名な等式も、この法則から素直に出てくる。