絶対値の和を最小にする(中央にそろえる)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $|x-k|$ は「数直線上で $x$ から $k$ までの距離」。だから $f(x)$ は、点 $x$ から3地点 $1,2,3$ への距離の合計だ。

「3軒の家に近い場所を探す」と読み替えると、真ん中の家 $x=2$ に立つのがよさそうだ、と見当がつく。

答案では、絶対値を区間ごとに外して1次関数のつなぎ合わせ(折れ線)にし、どこで下げ止まるかを確かめる。

① 区間で場合分け。 $x<1,1\le x<2,2\le x<3,3\le x$ で絶対値を外すと、$f(x)$ は各区間で $1$ 次関数。傾きは順に $-3,-1,+1,+3$。

② 傾きの変化。 傾きが負から正に変わるのは $x=2$ の前後(傾き $-1\to +1$)。よって $f$ は $x=2$ で最小。

③ 最小値。 $$f(2)=|2-1|+|2-2|+|2-3|=1+0+1=2.$$

まとめ $|x-k|$ を距離とみると、$3$ 点への距離の和は中央 $x=2$ で最小。最小値 $2$。区間ごとの傾きが $-1\to +1$ に変わる点でもある。絶対値と最大最小の融合。$n$ 個の点なら中央値で最小。

発展 — 一歩先へ。 地点を増やして $|x-a_1|+\cdots +|x-a_n|$ にしても、傾きの勘定はそのまま通り、最小は「中央値」で起きる($n$ が偶数なら中央の2点の間ずっと最小)。データの分析で「絶対偏差の和は中央値で最小・平方偏差の和は平均で最小」と対で学ぶ事実の、前半の完全な証明がこの傾き勘定だ。

別解

傾きを数えて折れ線を読む(場合分けせずに増減が見える)。 $|x-k|$ の傾きは、$x$ が $k$ の左なら $-1$、右なら $+1$。3本の和の傾きは、その合計で

$$(\text{右にある地点の数})-(\text{左にある地点の数})\text{の符号違い}$$

つまり左から順に $-3\to -1\to +1\to +3$ と、地点を1つ通過するたびに $2$ ずつ増える。

傾きが負から正に変わるのは $x=2$ — そこが谷底で、最小値 $f(2)=1+0+1=2$。

場合分けの計算(本解)をしなくても、「傾き=右の点の数−左の点の数」の勘定だけで谷の位置が読める。地点が $n$ 個なら谷は「中央の点」(偶数個なら中央の区間)— データの分析で学ぶ「絶対偏差の和は中央値で最小」の正体が、この傾き勘定だ。