二重根号を含む式の計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 二重根号は「内側の根号の前を $2$ にそろえる」と外れる。$4\pm \sqrt{7}=\frac{8\pm 2\sqrt{7}}{2}$ と直す。

$8\pm 2\sqrt{7}=(\sqrt{7}\pm 1{)}^2$(和 $8$・積 $7$ の $2$ 数が $7,1$)。だから $\sqrt{4\pm \sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}\pm 1}{\sqrt{2}}$。

あるいは、和や差を丸ごと $2$ 乗して二重根号を消す手もある。$(\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}{)}^2=8+2\sqrt{16-7}=8+6=14$ から一気に $\sqrt{14}$。

① 二重根号を外す。 $4\pm \sqrt{7}=\frac{8\pm 2\sqrt{7}}{2}$ と、$\sqrt{7}$ の前を $2$ にそろえる。和が $8$、積が $7$ の $2$ 数は $7$ と $1$ だから $8\pm 2\sqrt{7}=(\sqrt{7}\pm 1{)}^2$。よって

$$\sqrt{4\pm \sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}\pm 1}{\sqrt{2}}$$

② 和と差を計算する。

$$(1)=\frac{(\sqrt{7}+1)+(\sqrt{7}-1)}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{14}$$

$$(2)=\frac{(\sqrt{7}+1)-(\sqrt{7}-1)}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$

まとめ:二重根号は「前を $2$ にそろえて和と積」。ただし $2$ 数の和・差を問われたら、別解のように丸ごと $2$ 乗して積 $\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}=\sqrt{16-7}=3$ を作るほうが速い。どちらでも  ​ が正であること(符号)の確認は必須。

発展 — 一歩先へ。 二重根号 $\sqrt{p\pm 2\sqrt{q}}$ が外れる($=\sqrt{a}\pm \sqrt{b}$ になる)のは、和 $a+b=p$・積 $ab=q$ を満たす有理数 $a,b$ があるとき、つまり $p^2-4q$ が平方数のとき。$4\pm \sqrt{7}$ で $p=8,q=7$ とすると $64-28=36=6^2$ で外れる。「外れるかどうか」は判別式が平方かで決まる。

別解

別解 — 和と差を先に求め、連立で個々を出す(得意な人向けの視点)。 $P=\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{4-\sqrt{7}}$、$Q=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$ を、$2$ 乗して同時に扱う。

$$P^2=(4+\sqrt{7})+(4-\sqrt{7})+2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}=8+2\sqrt{16-7}=8+6=14.$$

$P>0$ より $P=\sqrt{14}$。同様に

$$Q^2=8-2\sqrt{9}=8-6=2⟹Q=\sqrt{2}.$$

二重根号を外す(本解)代わりに、「$2$ 乗すると内側の積 $\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}=\sqrt{16-7}=3$ が有理数になる」ことを使う。$P^2+Q^2=16$(元の $2$ 数の和の $2$ 倍)、$P^2-Q^2=12$ という関係もあり、$PQ=\sqrt{14}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ など、和と差をセットで扱うと検算もできる。