対称式の値(2乗・3乗で作る)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x\cdot \frac{1}{x}=1$ が効くのがこの手の問題。与式を $2$ 乗・$3$ 乗すると、真ん中の項が定数に化ける。

(1) ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2={\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2+4$。$x-\frac{1}{x}=1$ を入れて $x+\frac{1}{x}=\pm \sqrt{5}$。符号は $x$ の正負で決まる。

(2) は ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2+2$、(3) は ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^3+3\left(x-\frac{1}{x}\right)$ を使う。基本の対称式を $1$ つ知れば、あとは組み立てるだけだ。

① (1) を求める。 ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2={\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2+4=1^2+4=5$。よって $x+\frac{1}{x}=\pm \sqrt{5}$。符号は $x$ による。$x-\frac{1}{x}=1$ すなわち $x^2-x-1=0$ の解は $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ で、$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>0$ のとき $x+\frac{1}{x}=+\sqrt{5}$、$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$ のとき $-\sqrt{5}$。

② (2) を求める。

$$x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2+2=1+2=3$$

③ (3) を求める。 ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^3=x^3-\frac{1}{x^3}-3\left(x-\frac{1}{x}\right)$ を移項して

$$x^3-\frac{1}{x^3}={\left(x-\frac{1}{x}\right)}^3+3\left(x-\frac{1}{x}\right)=1^3+3\cdot 1=4$$

まとめ:対称式の値は「与式を $2,3$ 乗して欲しい式を作る」。$x\cdot \frac{1}{x}=1$ だから中央項が定数になり、次々と値が出る。$x+\frac{1}{x}$ のように $2$ 乗から作る量は、最後に符号を $x$ の正負で確定する — ここを落とすと不完全。

発展 — 一歩先へ。 $x-\frac{1}{x}=1$ の解 $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ は黄金比 $\phi$。$\phi$ は ${\phi }^2=\phi +1$ を満たし、${\phi }^n=F_n\phi +F_{n-1}$(フィボナッチ数 $F_n$)と展開できる。$x^n\pm \frac{1}{x^n}$ の値が整数($3,4,7,11,\dots$)で並ぶのは、この背後にフィボナッチ・リュカ数列があるからだ。

別解

別解 — $x$ を実際に求めて代入する(苦手な人向け)。 $x-\frac{1}{x}=1$ の両辺に $x$ を掛けると $x^2-x-1=0$、解の公式で $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。

正の解 $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$(黄金比)を使って直接計算してみる。

$$x+\frac{1}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}.$$

負の解 $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ なら $x+\frac{1}{x}=-\sqrt{5}$。

(2)(3) も具体値を入れれば $3$、$4$ になる。対称式の変形(本解)が「$x$ を求めずに答える」エレガントな道なのに対し、こちらは「$x$ を求めて代入」の泥臭いが確実な道。$x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ が黄金比とその共役だと気づくと、なぜきれいな値が出るかも見える。