循環小数の分数化と有理数の判定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 循環小数を分数に直す道具を、形を変えて $3$ 回使う。

基本は「くり返しがそろうよう $10$ 倍・$100$ 倍してずらし、引いて消す」。

(1)は循環する部分としない部分が混じる。どの $2$ つを引けばくり返しが消えるか、桁のそろい方から逆算する。

(2)(3)も同じ方針だ。循環小数はまず分数に直す、と決めて通す。

(1) $x=2.1\dot{3}\dot{6}=2.1363636\dots$ とおく。循環しない部分(1)が1桁、循環部分(36)が2桁。循環部分がそろうように、$10x$ と $1000x$ を作る。

$$\begin{array}{rl}10x& =21.363636\cdots \\ 1000x& =2136.363636\cdots \end{array}$$

引くと循環部分が消える。

$$1000x-10x=2136.3636\cdots -21.3636\cdots =2115$$

よって $990x=2115$ で

$$x=\frac{2115}{990}=\frac{47}{22}$$

(2) それぞれを分数にする。$y=0.\dot{2}\dot{7}$ は、$100y-y=27$ より

$$100y-y=27すなわちy=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$$

同じように $0.\dot{4}\dot{5}=\frac{5}{11}$。かけて

$$0.\dot{2}\dot{7}\times 0.\dot{4}\dot{5}=\frac{3}{11}\times \frac{5}{11}=\frac{15}{121}$$

(3) $z=1.\dot{7}=1.777\dots$ を分数にする。$10z-z=16$ より

$$10z-z=16すなわちz=\frac{16}{9}$$

よって

$$\sqrt{1.\dot{7}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}$$

まとめ:$\frac{4}{3}$ は分数なので、$\sqrt{1.\dot{7}}$ は有理数だとわかる。循環小数はすべて分数にできる(=有理数)、というのが根っこにある考えだ。

発展 — 一歩先へ。 循環小数がすべて分数に直せたのは、「有理数 $=$ 有限小数または循環小数」という事実の片側だ。

逆も成り立つ。既約分数 $\frac{p}{q}$ を割り算で小数にすると、途中に出る余りは $0$ から $q-1$ の $q$ 通りしかない。だから余りはいつか必ずくり返し、小数は循環する(または割り切れて有限小数になる)。

すると無理数の小数は、循環しない無限小数でしかありえない。$\sqrt{2}$ や $\pi$ がそれだ。小数が循環するかどうかが、有理数と無理数を分ける境目になっている。

別解

別解 — 無限等比級数の和として求める(得意な人向けの高い視点)。 循環小数は「同じ並びを無限にたし続けた数」だから、無限等比級数の和とみられる。

(2)の $0.\dot{2}\dot{7}$ は、$27$ を小数第 $2$ 位ごとに無限にたした数。初項 $\frac{27}{100}$、公比 $\frac{1}{100}$ の等比級数だ。和の公式より

$$0.\dot{2}\dot{7}=\frac{27/100}{1-1/100}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}.$$

同じく $0.\dot{4}\dot{5}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$、積は $\frac{3}{11}\times \frac{5}{11}=\frac{15}{121}$。

(3)の $1.\dot{7}$ は $1+0.\dot{7}=1+\frac{7/10}{1-1/10}=1+\frac{7}{9}=\frac{16}{9}$、根号を外して $\frac{4}{3}$。

(1)のように循環しない部分が頭につく場合は、その $2.1$ を分けておき、残りの循環部分だけを等比級数で足せばよい。$10$ 倍・$1000$ 倍してずらす本解は、この「等比級数の和」を筆算の形で実行しているのと同じだ。本解と同じ $\frac{47}{22}$、$\frac{15}{121}$、$\frac{4}{3}$ に至る。