絶対値を含む不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値の不等式は $2$ つの型しかない。「小さいは間、大きいは外」と覚える。

• $|A|<c$(小さい)→ $A$ は $-c$ と $c$ の間: $-c<A<c$
• $|A|>c$(大きい)→ $A$ は $-c$ より小さいか $c$ より大きい: $A<-c$ または $A>c$(外側 $2$ つに分かれる)

型を取り違えると答えが正反対になる。まず不等号の向きを見て、どちらの型かを宣言してから解き始めよう。

『$|A|<c$ は間、$|A|>c$ は外』と覚える。

(1)

$|x|<4$ は『間』の型。

$$-4<x<4$$

(2) $|x-1|\le 3$ も『間』の型。中身 $x-1$ が $-3$ と $3$ の間。

$$-3\le x-1\le 3$$

各辺に1を足して

$$-2\le x\le 4$$

(3)

$|x+2|>5$ は『外』の型。中身 $x+2$ が $-5$ より小さいか、$5$ より大きい。

$x+2<-5$ から $x<-7$。$x+2>5$ から $x>3$。

よって $x<-7$ または $x>3$。

まとめ:『小さい($<$)は間、大きい($>$)は外』— この一言で、2つの型を迷わず使い分けられる。

発展 — 一歩先へ。 「外」の型の答えを $-7>x>3$ と $1$ 本に書くのは誤り — そんな $x$ は存在しない($-7$ より小さくて $3$ より大きい数はない)。$2$ つの範囲は離れているので、必ず「または」でつなぐ。$1$ 本にまとめられるのは「間」の型だけ、という書き方の非対称に注意したい。

この「かつ / または」の区別は、次の単元(集合と命題)で $\cap$(共通部分)と $\cup$(和集合)として正式化される。絶対値の不等式は、集合の言葉を必要とする最初の場面 — 数直線に描いた帯とその外側が、そのまま集合の絵になる。

別解

「間」と「外」を暗記する代わりに、距離の絵で毎回その場で導けばよい。

$|x-1|\leqq 3$ は「$x$ と $1$ の距離が $3$ 以内」。中心 $1$ から左右 $3$ ずつの帯が答えだ。

$$1-3\leqq x\leqq 1+3⟹-2\leqq x\leqq 4$$

中心 $\pm$ 距離 — 計算はこれだけ。

(3)の $|x+2|>5$ は「$x$ と $-2$ の距離が $5$ より大きい」($x+2=x-(-2)$ なので中心は $-2$)。中心から $5$ 以上離れた場所 — 帯の外側だ。

$$x<-2-5=-7\text{または}x>-2+5=3$$

「近い = 中心のまわりの $1$ かたまり」「遠い = 両端に散った $2$ つ」— 距離の絵では、型の違いが当たり前の事実になる。「間」「外」という言葉は、この絵に名前をつけただけだ。

中心の読み取りだけ注意。$|x+2|$ の中心は $+2$ ではなく $-2$($x-(-2)$ と書き直す)。ここを取り違えると帯の位置がずれる — 符号を反転して中心、と覚えておこう。