循環小数と実数の分類

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 循環小数のやっかいさは、無限に続くこと。無限の部分を消せれば、ただの引き算になる。

そこで「同じ無限部分を持つ2つの数を作って、引き算で消す」と考える。くり返しの桁数ぶんだけ10倍すれば、小数点以下がそろう。

(2)のように、循環しない部分が混じるときは倍率を2つ使う。(3)の無理数選びは「見た目」でなく「正体」で判定する。計算して簡単になる数が混ざっている。

(1) $x=0.\dot{6}\dot{3}=0.6363\dots$ とおく。くり返しが2桁なので100倍。

$$\begin{array}{rl}100x& =63.6363\cdots \\ x& =0.6363\cdots \end{array}$$

引くと $99x=63$。よって

$$x=\frac{63}{99}=\frac{7}{11}$$

(2) $x=0.2\dot{7}=0.2777\dots$。循環しない部分(2)と循環する部分(7)が混じっている。循環部分だけがそろうように、100倍と10倍の差をとる。

$$\begin{array}{rl}100x& =27.777\cdots \\ 10x& =2.777\cdots \end{array}$$

引くと $90x=25$。よって

$$x=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}$$

(3) 無理数(分数で表せない数)を選ぶ。

• $\sqrt{25}=5$ は整数 → 有理数
• $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$ → 有理数
• $\sqrt{3}+1$ は $\sqrt{3}$ が無理数なので → 無理数
• $0.\dot{1}2\dot{3}$ は循環小数 → 有理数(分数にできる)
• $\pi$ → 無理数

まとめ:よって無理数は $\sqrt{3}+1$ と $\pi$。計算すると整数・分数になるものは有理数、と見抜くのがコツ。

発展 — 一歩先へ。 なぜ分数は必ず循環小数(または有限小数)になるのか。割り算の余りは、分母より小さい種類しかないからだ。

割り切れなければ、いつか同じ余りが再登場する。同じ余りからは同じ計算が続くので、そこから循環が始まる。「有理数=有限小数か循環小数」という対応には、こんな種明かしがある。逆に、循環しない無限小数が無理数だ。

別解

くり返しの基本形を「部品」として覚えておくと、分解して足すだけで出せる。

基本形はこうだ。$0.\dot{7}=\frac{7}{9}$、$0.\dot{6}\dot{3}=\frac{63}{99}$。くり返し1桁は9分の、2桁は99分のになる(10倍・100倍して引く操作を先にやっておいた結果だ)。

(1)はそのまま $\frac{63}{99}=\frac{7}{11}$。

(2)は循環部分を分けて足す。$0.2\dot{7}=0.2+0.0\dot{7}=\frac{1}{5}+\frac{1}{10}\times \frac{7}{9}=\frac{18}{90}+\frac{7}{90}=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}$。

「循環しない部分+循環する部分の縮小コピー」という見方だ。方程式を立てなくても、部品の組み合わせで機械的に出せる。