数学I / 実数と1次不等式

1次不等式の解法(分数・小数係数)

★★ 標準1次不等式

問題

次の1次不等式を解け。

(1) $5 x - 7 > 8 x + 5$

(2) $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x - 2}{4} \leq 1$

(3) $0.3 x - 1 < 0.5 x + 0.2$

ヒントを見る

文字を左・数を右、負の係数で割ると向きが逆 — ここは基本どおり。(2)は分母をはらう、(3)は $10$ 倍して、まず係数を整数にしてから解く。

解答・解説

1次不等式は、文字を左・数を右に集め、 $x$ の係数で割る。負で割ると不等号の向きが逆になる、が最重要ルール。

(2)は分数があるので、まず分母をはらって整数の式にする。(3)は小数なので10倍する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数・小数のまま進めると、移項のたびにミスを呼ぶ。

最初の一手は「係数を整数にそろえる」だ。分数は分母の最小公倍数を掛けて払う。小数は $10$ 倍する。

整数にしてしまえば、あとは中学と同じ移項の作業。警戒するのは1点だけ、負の数で割るときに不等号の向きが逆になることだ。

公式1次不等式:負の数で割ると不等号の向きが逆になる

(1) 文字を左、数を右に集める。

$5 x - 8 x > 5 + 7$

$- 3 x > 12$

$- 3$ (負)で割るので向きが逆になり

$x < - 4$

(2) 分数があるので、両辺に12(分母3と4の最小公倍数)をかけて分母をはらう。

$4 (2 x - 1) - 3 (x - 2) 8 x - 4 - 3 x + 6 5 x + 2 5 x x \leq 12 \leq 12 \leq 12 \leq 10 \leq 2$

$x$ の係数5は正なので、向きはそのまま。

(3) 小数があるので、両辺を10倍する。

$3 x - 10 < 5 x + 2$

$3 x - 5 x < 2 + 10$

$- 2 x < 12$

$- 2$ (負)で割るので向きが逆になり

$x > - 6$

『負で割ると不等号が逆』を、毎回声に出して確認しよう。

発展 — 一歩先へ。 不等式の変形が等式と違うのは、実は「負を掛ける・割ると向きが変わる」の1点だけだ。

この1点が、この先いろいろな姿で再登場する。2次不等式ではグラフの上下として、数学IIの対数不等式では底が $1$ より小さいときの反転として。「大小を保つ操作か、ひっくり返す操作か」を意識する習慣が、全部に通じる背骨になる。

答

(1) $x < - 4$ (2) $x \leq 2$ (3) $x > - 6$

「向きの反転」がどうしても不安な人には、反転を一度も使わないルートがある。 $x$ の係数が正になる側に集めるのだ。

(1) $5 x - 7 > 8 x + 5$ なら、 $x$ を右辺に集める。両辺から $5 x$ を引くと $- 7 > 3 x + 5$ 。

さらに $5$ を引いて $- 12 > 3 x$ 。正の $3$ で割って $- 4 > x$ 。

これは $x < - 4$ と同じことだ。負で割る場面が最初から現れないので、向きを間違えようがない。

どちらの辺に集めるかはこちらの自由、という当たり前の事実が、いちばん確実な事故防止装置になる。