対数を使わずに桁数を求める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「31桁」とは、不等式 $10^{30}\le 2^{100}<10^{31}$ のことだ。まず問いを不等式に翻訳する。

鍵は、$2^{10}=1024$ が $10^3$ のすぐ上にあること。下からの評価は、$1024>1000$ を10乗するだけで出る。

上からはどうするか。$1024=1.024\times 10^3$ と分解し、はみ出し係数 $(1.024{)}^{10}$ が $10$ 未満だと示せばよい。$1.024<1.1$ と大きめにゆるめてから、2乗を繰り返す。電卓なしの手計算で押さえられる。

① 下からの評価。 $2^{10}=1024>10^3$ の両辺を10乗して

$$2^{100}=(2^{10}{)}^{10}>(10^3{)}^{10}=10^{30}$$

② 上からの評価。 $2^{10}=1024<1.1\times 10^3$ だから

$$2^{100}<(1.1{)}^{10}\times 10^{30}$$

$(1.1{)}^{10}$ を2乗の繰り返しで見積もる:

$$(1.1{)}^2=1.21,(1.1{)}^4=1.21^2=1.4641,(1.1{)}^8=1.4641^2<1.4641\times 1.5<2.2$$

よって $(1.1{)}^{10}=(1.1{)}^8\times (1.1{)}^2<2.2\times 1.21<2.7<10$。したがって

$$2^{100}<2.7\times 10^{30}<10^{31}$$

③ 結論。 $10^{30}<2^{100}<10^{31}$。よって $2^{100}$ は31桁の自然数である。(実際 $2^{100}=1267650600228229401496703205376$。たしかに31桁で、評価の $1\times 10^{30}$ と $2.7\times 10^{30}$ の間に収まっている。)

まとめ: 常用対数なら1行の問題を、不等式の設計だけで仕留めた。「近い10のべきで下から」「はみ出し係数を2乗の繰り返しで上から」の2部構成だ。$2^{10}\approx 10^3$ という有名な近さ(計算機の「キロ」)が、評価の足場になっている。

別解

精度を上げると、先頭の数字まで見える(得意な人向け)。 $2^{100}=(1.024{)}^{10}\times 10^{30}$ は近似ではなく、正確な等式だ。つまりこの問題は、「誤差の玉 $(1.024{)}^{10}$ が $1$ 以上 $10$ 未満に収まるか」の一点に圧縮されている。

そこで $1.1$ にゆるめず、$1.024$ のまま2乗を繰り返して、両側から精密にはさんでみる。出発点は $1.024^2=1.048576$:

• 下から: $1.048576>1.048$、$1.048^2=1.098304>1.098$、$1.098^2=1.205604>1.205$。よって $(1.024{)}^8>1.205$ で、$(1.024{)}^{10}>1.205\times 1.048>1.26$
• 上から: $1.048576<1.049$、$1.049^2<1.101$、$1.101^2=1.212201<1.213$。よって $(1.024{)}^{10}<1.213\times 1.049<1.28$

まとめると

$$1.26\times 10^{30}<2^{100}<1.28\times 10^{30}$$

31桁であるだけでなく、最高位の数字が $1$ だとまで分かった(真の値は $1.2676\cdots \times 10^{30}$)。同じ道具(2乗の繰り返し)でも、ゆるめ方の設計しだいで結論の解像度が変わる。それが「評価」という技術の面白さだ。