絶対値を含む方程式・不等式と解の存在条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (2)は中身の符号が変わる点が $2$ つ — 数直線が $3$ つの区間に割れる、と先に見取り図を描く。(3)の解の存在条件は、左辺を「$2$ 点からの距離の和」と読むと、最小値との大小比較に言い換えられる。

(1) $|2x-3|\le x+4$。$|A|\le c$ は $-c\le A\le c$ なので(ここでは $c=x+4$)

$$-(x+4)\le 2x-3かつ2x-3\le x+4$$

左は $-x-4\le 2x-3$ から $-3x\le 1$、$x\ge -\frac{1}{3}$。右は $2x-3\le x+4$ から $x\le 7$。両方合わせて

$$-\frac{1}{3}\le x\le 7$$

(2) $|x-2|+|x+3|$ は、数直線上で点 $x$ から $2$ までの距離と、$-3$ までの距離の和だ。$x$ の位置で場合分けする。$x<-3$ のとき

$$-(x-2)-(x+3)=-2x-1$$

これが8なら $x=-\frac{9}{2}$(これは $x<-3$ を満たす)。$-3\le x\le 2$ のとき

$$-(x-2)+(x+3)=5$$

これは定数5で、8にはならない(この範囲に解なし)。$x>2$ のとき

$$(x-2)+(x+3)=2x+1$$

これが8なら $x=\frac{7}{2}$(これは $x>2$ を満たす)。よって $x=-\frac{9}{2},\frac{7}{2}$。

(3) (2)の計算からわかるように、$|x-2|+|x+3|$ は $-3\le x\le 2$ の間ではずっと5(最小値)、その外では5より大きくなる。つまりこの式は5以上のすべての値をとる。だから $k$ が5以上なら実数解をもつ。

$$k\ge 5$$

まとめ:$|x-2|+|x+3|$ を『2点からの距離の和』と見ると、最小値5(2点間の距離)がすぐわかる。

別解

(2)は、$x<-3$ と $x>2$ の各場合を直接解いてもよい。$x>2$ で $2x+1=8$ から $x=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$、$x<-3$ で $-2x-1=8$ から $x=-3-\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}$、とまとめて書ける。

$$x=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}またはx=-3-\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}$$