数学I / 実数と1次不等式

相加相乗の等号が使えない最小値

最難関編最小値等号の吟味

問題

$x$ を実数とするとき、 $\frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} + 4}$ の最小値を求めよ。

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根号を1文字に置き換えると見慣れた形になる — ただし置き換えた文字の動ける範囲を必ず確認すること。相加相乗の等号が成り立つ値は、その範囲に入っているか。入っていないなら、代わりに何で最小を決めるか。

解答・解説

方針

t=√(x²+4) とおくと式は t+1/t に化けるが、t の動く範囲は t≥2。相加相乗の等号 t=1 は範囲外で使えない。t+1/t が t≥1 で増加することを差の因数分解で示し、範囲の左端 t=2 で最小と結論する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $t = x^{2} + 4$ とおくと $x^{2} + 5 = t^{2} + 1$ 。式は

$\frac{t ^{2} + 1}{t} = t + \frac{1}{t}$

に化ける。相加相乗で $\geq 2$ 、とやりたくなるところだ。

だが待ってほしい。等号 $t = 1$ が成り立つには $x^{2} + 4 = 1$ が必要で、実数 $x$ では不可能だ( $t \geq 2$ )。「 $\geq 2$ 」自体は正しい。しかし2には届かない。届かない下界は最小値ではない。

範囲つきの $t + \frac{1}{t}$ は、 $t \geq 1$ で増加することを示して、範囲の左端 $t = 2$ で最小と締める。これが正しい設計だ。

重要置き換えたら範囲を確認:

t = x^{2} + 4 \geq 2

。相加相乗の等号が範囲外なら、単調性で端に寄せる

① 置き換える。 $t = x^{2} + 4$ とおく。 $t \geq 2$ ( $x = 0$ で $t = 2$ 、それ以外で $t > 2$ )で、

$\frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} + 4} = \frac{t ^{2} + 1}{t} = t + \frac{1}{t}$

② $t + \frac{1}{t}$ の増加を示す( $t \geq 1$ )。 $1 \leq t_{1} < t_{2}$ に対し

$(t_{2} + \frac{1}{t _{2}}) - (t_{1} + \frac{1}{t _{1}}) = (t_{2} - t_{1}) - \frac{t _{2} - t _{1}}{t _{1} t _{2}} = (t_{2} - t_{1}) (1 - \frac{1}{t _{1} t _{2}}) > 0$

$t_{1} t_{2} > 1$ だから、最後の因子は正だ。よって $t \geq 2$ の範囲では $t = 2$ で最小になる。

y=t+1/t のグラフ。谷底(等号点)は t=1 だが、動ける範囲は t≥2(色部分側)— 最小は範囲の左端 t=2 での 5/2(赤点)

③ 最小値。

$t = 2 のとき t + \frac{1}{t} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$t = 2$ は $x = 0$ で実現する。よって最小値は $\frac{5}{2}$ 。

まとめ: 「 $t + \frac{1}{t} \geq 2$ 」は万能ではない。最小値の生命線は、等号の実現可能性だ。等号が範囲外なら、単調性(差の因数分解)で端点に寄せる。この「相加相乗の等号が届かない」型は、根号や2次式の置き換えで頻出する有名な罠である。

発展 — 一歩先へ。 $t + \frac{1}{t}$ の最小が「2」と言えるのは、 $t = 1$ が動ける範囲に入っているときだけだ。範囲が $t \geq c$ ( $c \geq 1$ )なら、最小は左端の $c + \frac{1}{c}$ になる。本問は $c = 2$ の場合。数IIIに進むと微分で同じ結論を出せるが、「等号の実現可能性を疑う」目は、どの学年でも武器になる。

答

$\frac{5}{2}$ ( $x = 0$ のとき)

別解

答えの候補を引いて、因数分解する(1行で締まる別ルート)。 まず範囲の端 $x = 0$ を代入してみる。値は $\frac{5}{4} = \frac{5}{2}$ 。これが最小の候補だ。

候補が立ったら、「つねに $\frac{5}{2}$ 以上」を直接示せばよい。 $s = x^{2} + 4 (\geq 2)$ とおいて、差を計算する:

$s + \frac{1}{s} - \frac{5}{2} = \frac{2 s ^{2} - 5 s + 2}{2 s} = \frac{( 2 s - 1 ) ( s - 2 )}{2 s}$

$s \geq 2$ では $2 s - 1 > 0$ 、 $s - 2 \geq 0$ 、 $2 s > 0$ 。よって差は0以上。等号は $s = 2$ ( $x = 0$ )のときだけだ。最小値 $\frac{5}{2}$ が一撃で出る。

単調性の証明すら要らない。「端の値を予想して、引いて、因数分解で符号を見る」。最小値問題の強力な裏ルートだ。等号の場所が因数 $(s - 2)$ にそのまま見えているのも気持ちいい。

ポイント

$t = x^{2} + 4 \geq 2$ で式は $t + \frac{1}{t}$ 。
等号 $t = 1$ は範囲外 — 下界2は最小値でない。
増加性(差の因数分解)で左端 $t = 2$ 、最小値 $\frac{5}{2}$ 。

よくある間違い

相加相乗で $t + \frac{1}{t} \geq 2$ と書き、最小値2と答える。等号 $t = 1$ は $x^{2} + 4 = 1$ を要求し、実数では不可能。届かない下界は最小値ではない。
$t = x^{2} + 4$ と置き換えたのに、 $t$ の動ける範囲( $t \geq 2$ )を書かない。範囲のない置き換えは答案として未完成。
増加性を「グラフの形から明らか」で済ませる。数Iでは差をとって因数分解し、符号で示す。