x+1/x 型の対称式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x$ の値は汚いのに、聞かれているのは $x+\frac{1}{x}$ の仲間ばかり。ここに出題の意図がある。

逆数との和は、有理化すると根号が打ち消し合って、きれいな値になることが多い。

だからまず $x+\frac{1}{x}$ という「部品」を作る。部品さえできれば、2乗の和・3乗の和は公式の変形で芋づる式に出る。$x$ 単体を2乗・3乗する必要は最後までない。

(1) まず $\frac{1}{x}$ を求める。$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ の逆数なので $\frac{1}{x}=\frac{2}{3+\sqrt{5}}$。これを有理化する。

$$\frac{1}{x}=\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=\frac{2(3-\sqrt{5})}{9-5}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

よって

$$x+\frac{1}{x}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{6}{2}=3$$

$\sqrt{5}$ が消えて3。

(2) ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+2$ なので、$x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2$。

$$x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2=3^2-2=7$$

(まん中の $2\cdot x\cdot \frac{1}{x}=2$ が出るのがポイント。)

(3) $x^3+\frac{1}{x^3}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right)$。

$$x^3+\frac{1}{x^3}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right)=3^3-3\times 3=27-9=18$$

まとめ:$x+\frac{1}{x}$ さえ求めれば、あとは公式で次々に出せる。$x\cdot \frac{1}{x}=1$ になるのが、この型のうまみだ。

発展 — 一歩先へ。 $x+\frac{1}{x}$ を部品にする発想は、この先も何度も再登場する。数学IIの相反方程式では $t=x+\frac{1}{x}$ の置きかえが解法の心臓部になるし、指数の式 $a^x+a^{-x}$ も同じ構造だ。

「大きいものと小さいものの対で1つの部品を作る」。この型を今のうちに手になじませておくと、あとで何度も助けられる。

別解

(3)は別の公式でも出せる。$x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2-1+\frac{1}{x^2}\right)$ で、(1)(2)の結果を使って

$$x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2-1+\frac{1}{x^2}\right)=3\times (7-1)=3\times 6=18$$

(1)の $3$ と(2)の $7$ がそのまま使えて、こちらもラクだ。

3乗の公式を忘れたときは、${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^3$ を自分で展開して余分($3x+\frac{3}{x}=3\left(x+\frac{1}{x}\right)$)を引く、と現場で復元することもできる。