3乗の和の不等式(因数分解と相加相乗)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 差 $a^3+b^3+c^3-3abc$ には、名高い因数分解がある: $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ だ。

第1因子は $a,b,c\ge 0$ から $0$ 以上。第2因子は $\frac{1}{2}\left\{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\right\}$ と平方の和に書けて、これも $0$ 以上。

積は $0$ 以上 — 不等式と等号条件($a=b=c$)が一度に出る。

① 因数分解。 $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$ ② 各因子の符号。 $a,b,c\ge 0$ より $a+b+c\ge 0$。第 $2$ 因子は $\frac{1}{2}\{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\}\ge 0$(平方の和)。

③ 不等式と等号。 積が $0$ 以上だから $a^3+b^3+c^3-3abc\ge 0$、すなわち $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$。等号は第 $2$ 因子が $0$、すなわち $a=b=c$($a+b+c=0$ は $a=b=c=0$ でこれも含む)。

まとめ 因数分解して「$a+b+c\ge 0$」×「平方の和 $\ge 0$」だから $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$。等号は $a=b=c$。不等式と因数分解(相加相乗)の融合。

発展 — 一歩先へ。 $a=\sqrt[3]{x},b=\sqrt[3]{y},c=\sqrt[3]{z}$ と置き換えれば、この不等式は $\frac{x+y+z}{3}\ge \sqrt[3]{xyz}$ — 3変数の相加相乗平均そのものだ。つまり「3変数AM-GMの正体は、この因数分解1本」。$n$ 変数への一般化は、対数の凸性(接線 $\log x\le x-1$)経由の証明が数IIIで待っている。

別解

2変数の不等式を部品にして組み上げる(因数分解を知らなくても)。 まず2変数で

$$x^3+y^3-xy(x+y)=(x+y)(x-y{)}^2\ge 0⟹x^3+y^3\ge xy(x+y)$$

これを3組 $(a,b),(b,c),(c,a)$ に使って足すと

$$2(a^3+b^3+c^3)\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=a^{2}b+a{b}^2+b^{2}c+b{c}^2+c^{2}a+c{a}^2$$

右辺の6項に相加相乗平均(6項版)を使うと

$$a^{2}b+a{b}^2+\cdots +c{a}^2\ge 6\sqrt[6]{a^6{b}^6{c}^6}=6abc$$

つないで $2(a^3+b^3+c^3)\ge 6abc$、両辺を2で割って結論。等号はどちらの段でも $a=b=c$。

因数分解(本解)は一撃の名刀、2段組みは「2変数の簡単な部品から3変数を組む」普段使いの工具箱。名刀を忘れた日でも、部品の組み立てなら再現できる。