数学I / 実数と1次不等式

対称式の値(基本対称式の利用)

★★ 標準対称式式の値

問題

$x = 5 + 3$ 、 $y = 5 - 3$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x^{2} + y^{2}$

(2) $x^{3} + y^{3}$

(3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

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$x, y$ を個別に扱わず、 $x + y$ と $x y$ を先に。すべての式はこの2つで書ける — $x^{2} + y^{2}$ も $x^{3} + y^{3}$ も $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ も。どの変形公式を使うかだけ選ぼう。

解答・解説

対称式は $x + y$ と $x y$ から求まる。まずこの2つを出す。

(2)の $x^{3} + y^{3}$ は、公式 $x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$ を使う。(1)で求めた $x^{2} + y^{2}$ を利用する別解もある。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 求める式を眺めると、どれも $x$ と $y$ を入れかえても変わらない(対称式)。

対称式と見抜けたら、個別に代入する道は捨てる。 $x + y$ と $x y$ の2つをまず計算する道を選ぶ。

実際、 $x + y = 25$ 、 $x y = 5 - 3 = 2$ ときれいな値になる。3乗の和も、この2つの部品から変形で組み立てられる。

公式基本対称式

x + y

、

x y

を先に求める。

x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y

まず基本対称式を求める。

$x + y = (5 + 3) + (5 - 3) = 25$

$x y = (5 + 3) (5 - 3) = 5 - 3 = 2$

(1) $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$ 。

$x^{2} + y^{2} = (25)^{2} - 2 \cdot 2 = 20 - 4 = 16$

(2) $x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$ 。 $(x + y)^{3} = (25)^{3} = 405$ なので

$x^{3} + y^{3} = 405 - 3 \cdot 2 \cdot 25 = 405 - 125 = 285$

(3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ は通分して $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x y}$ 。(1)と結果を使って

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y ^{2} + x ^{2}}{x y} = \frac{16}{2} = 8$

対称式は、まず $x + y$ と $x y$ を出し、あとは公式に当てはめるだけ。

発展 — 一歩先へ。 どんな対称式も、 $x + y$ と $x y$ (基本対称式)だけで必ず書ける。これは定理として知られていて、今回の(1)〜(3)はその実例だ。

数学IIで「解と係数の関係」を学ぶと、2次方程式の係数から $x + y$ と $x y$ が直接読み取れるようになる。対称式の技はそこで一段と強力になる。

答

(1) $16$ (2) $285$ (3) $8$

(2)は、別の公式 $x^{3} + y^{3} = (x + y) {(x^{2} + y^{2}) - x y}$ を使ってもよい。(1)の $x^{2} + y^{2} = 16$ を利用して

$x^{3} + y^{3} = (x + y) {(x^{2} + y^{2}) - x y} = 25 \times (16 - 2) = 25 \times 14 = 285$

(1)の結果がそのまま使えて、こちらのほうが計算が少ない。

小問が並んでいるときは「前の結果を次で使えないか」を疑うと、こういう近道が見つかる。

対称式は $x + y$ と $x y$ から。まずこの2つを求める
$x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$ (または $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ )
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x y}$