絶対値を含む方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $|A|=c$($c>0$)は「中身 $A$ が $+c$ か $-c$ のどちらか」という意味 — 絶対値は符号の情報を捨てるので、元の中身は $2$ 通りありうる。

だから $A=c$ と $A=-c$ の $2$ 本に分けて解く。

(1)なら $x-2=5$ と $x-2=-5$。答えが $2$ つ出るのが正常で、$1$ つしか書かないのが最も多いミスである。

絶対値の方程式 $|A|=c$($c>0$)は、中身 $A$ が $+c$ か $-c$ のどちらか。だから2つに分けて解く。

(1) $|x-2|=5$ は、$x-2=5$ または $x-2=-5$。

それぞれ解くと、$x=7$ または $x=-3$。

(2) $|2x-3|=7$ は、$2x-3=7$ または $2x-3=-7$。

$2x-3=7$ から $2x=10$、$x=5$。$2x-3=-7$ から $2x=-4$、$x=-2$。

よって $x=5$ または $x=-2$。

まとめ:$|A|=c$ を見たら、反射的に『$A=c$ と $A=-c$ の2本』に分ける。$-c$ のほうを忘れないこと。

発展 — 一歩先へ。 右辺が負の場合はどうなるか — $|x-2|=-5$ は解なし。絶対値(距離)は決して負にならないからだ。$|A|=c$ の $c$ の符号で、解の個数は $2$ 個($c>0$)・$1$ 個($c=0$)・$0$ 個($c<0$)と変わる。「$2$ 本に分ける」前に、右辺の符号を一瞥する習慣が要る。

距離の見方は $2$ 次関数のグラフ($y=|x-2|$ は $V$ 字)にもつながる。$V$ 字と横線 $y=5$ の交点が $2$ つ — 方程式の解の個数が、グラフの交点として目に見える。「式・数直線・グラフ」の $3$ つの見方を行き来できると、絶対値は完全に手中に入る。

別解

距離の絵で読むと、$2$ 本の式に分ける手続きすら要らなくなる。

$|x-2|=5$ は「$x$ と $2$ の距離が $5$」— 数直線で $2$ から $5$ だけ離れた点はどこか。右へ $5$ 行けば $2+5=7$、左へ $5$ 行けば $2-5=-3$。

$$x=7,-3$$

$2$ 本の方程式を解く代わりに、「中心 $\pm$ 距離」の暗算で終わる。答えが $2$ つある理由も絵で明白 — 右と左、$2$ 方向あるからだ。(2)の $|2x-3|=7$ なら「$2x$ と $3$ の距離が $7$」→ $2x=3\pm 7=10,-4$ → $x=5,-2$。

一方で、絶対値の定義に忠実な場合分けという一般解法も押さえておきたい。

(i) $x\geqq 2$ のとき、$|x-2|=x-2$ なので $x-2=5$、$x=7$。条件 $x\geqq 2$ を満たすので解。

(ii) $x<2$ のとき、$|x-2|=-(x-2)$ なので $-(x-2)=5$、$x=-3$。条件 $x<2$ を満たすので解。

同じ $x=7,-3$ に着く。今回は距離の絵が速いが、場合分けは絶対値が複数あるときや、式が複雑なときにも必ず通用する。「速い道(距離)」と「確実な道(場合分け)」の両方を持っておくのが、絶対値との正しい付き合い方だ。