数学I / 実数と1次不等式

1次不等式の文章題(個数と代金)

★★ 標準文章題1次不等式

問題

1個150円のケーキと1個90円のシュークリームを合わせて15個買い、代金の合計を1800円以下にしたい。ケーキをできるだけ多く買うとすると、ケーキは最大何個買えるか。ただし、ケーキとシュークリームはどちらも1個以上買うものとする。

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ケーキを $x$ 個とおくと、シューは $(15 - x)$ 個。代金 $\leq 1800$ を式にして $x$ の範囲へ。 $x$ は整数で、できるだけ大きい値を選ぶ。

解答・解説

ケーキの個数を $x$ 個とすると、シュークリームは $(15 - x)$ 個。代金が1800円以下、という条件を不等式にする。

解いて、 $x$ が整数であることと、『どちらも1個以上』という条件に注意して、ケーキの最大個数を求める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 文章が長くても、構造は単純だ。「1つを $x$ とおけば、残りは自動的に決まる」型である。

個数の合計が $15$ 個と固定されている。だからケーキを $x$ 個とすれば、シュークリームは $15 - x$ 個と書ける。未知数は1つで済む。

あとは「代金の合計が $1800$ 円以下」を不等式に翻訳する。答えは個数なので、最後に整数の条件で仕上げる。

ケーキを $x$ 個買うとすると、シュークリームは $(15 - x)$ 個。代金の合計を1800円以下にするので

$150 x + 90 (15 - x) \leq 1800$

解く。

$150 x + 1350 - 90 x 60 x + 1350 60 x x \leq 1800 \leq 1800 \leq 450 \leq 7.5$

$x$ は個数だから整数。 $x \leq 7.5$ を満たす最大の整数は $x = 7$ 。

(このとき、シュークリームは $15 - 7 = 8$ 個で1個以上、代金は $150 \times 7 + 90 \times 8 = 1050 + 720 = 1770$ 円で1800円以下。条件をすべて満たす。)

まとめ:よってケーキは最大7個。文章題は『 $x$ とおく → 不等式 → 解く → 整数・現実の条件で答える』の流れ。最後に条件を満たすか確かめると安心だ。

発展 — 一歩先へ。 「合計が固定なら未知数は1つ」という見方は、数学IIの軌跡と領域で学ぶ線形計画法の1変数版だ。条件が増えて2変数になると、領域と直線で最大最小を探す世界になる。

別解の「置き換え1回あたりの差額」という考え方は、変化の割合(1次関数の傾き)そのものでもある。文章題の式には、いつも具体的な意味が張り付いている。

答

ケーキは最大 $7$ 個(このときシュークリームは $8$ 個、代金は $1770$ 円)

算数の「つるかめ算」の考え方でも解ける。置き換えの差額に注目するのだ。

まず全部シュークリームだと考える。 $15$ 個で $90 \times 15 = 1350$ 円。

シュークリーム1個をケーキ1個に置き換えるたびに、代金は $150 - 90 = 60$ 円ずつ増える。

予算の余裕は $1800 - 1350 = 450$ 円。 $450 \div 60 = 7.5$ だから、置き換えは $7$ 回まで。よってケーキは最大 $7$ 個だ。

不等式と同じ答えに着く。式の変形が「置き換え1回あたり $60$ 円」という具体的な意味を持っていることが、このルートだとよく見える。