3つの平方根の和の無理性

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 根号が3種類あると、1回の平方では消えない。だが「孤立させて2乗」を繰り返すと、根号は1段ずつ減っていく。

$r=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ を有理数と仮定しよう。$\sqrt{5}$ を移項して平方すると $\sqrt{6}$ が残る。それを孤立させてもう一度平方すると、最後に $\sqrt{30}$ が1つだけ、有理数の式で書けてしまう。

とどめを刺すのが(1)だ。$\sqrt{30}$ の無理性を、既約分数と偶奇の定番の背理法で先に確保しておく。

① (1) $\sqrt{30}$ の無理性。 $\sqrt{30}=\frac{n}{m}$($m,n$ は互いに素な正の整数)と仮定すると $n^2=30m^2$。右辺は偶数だから $n$ は偶数だ。$n=2n^{\prime }$ とおくと $4n^{\prime 2}=30m^2$、つまり $2n^{\prime 2}=15m^2$。左辺は偶数で $15$ は奇数だから、$m^2$ は偶数。$m$ も偶数となり、$m,n$ が互いに素であることに矛盾する。よって $\sqrt{30}$ は無理数。

② 1回目の平方。 $r=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ が有理数と仮定する。$r-\sqrt{5}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ の両辺を2乗:

$$r^2-2\sqrt{5}r+5=5+2\sqrt{6}⟺r^2=2\sqrt{5}r+2\sqrt{6}$$

③ 2回目の平方でとどめ。 $r^2-2\sqrt{5}r=2\sqrt{6}$ の両辺を2乗すると

$$r^4-4\sqrt{5}{r}^3+20r^2=24⟺4\sqrt{5}{r}^3=r^4+20r^2-24$$

これはうまく消えない($\sqrt{5}$ が残る)。そこで②の $r^2=2\sqrt{5}r+2\sqrt{6}$ を、そのまま2乗する方が早い:

$$r^4=20r^2+24+8\sqrt{30}r⟺\sqrt{30}=\frac{r^4-20r^2-24}{8r}$$

$r>0$ なので割ってよい。右辺は有理数の四則だけでできているから、有理数だ。これは(1)に矛盾する。よって $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ は無理数である。

まとめ: 平方のたびに $\sqrt{6}\to \sqrt{30}$ と、根号の種類が減って1つに絞られていく。多重根号の背理法は、最後に孤立する根号を先に仕留めておく(小問(1))のが答案の設計だ。$\sqrt{2}+\sqrt{3}$(2項)の一段上として、消し切る腕力を測る問題である。

発展 — 一歩先へ。 実は $\sqrt{p_1}+\sqrt{p_2}+\cdots +\sqrt{p_n}$(相異なる素数)はすべて無理数だ。「孤立させて平方」を繰り返す本問の設計は、原理的にはそのまま伸びていく(式の次数は倍々に増えるが)。

別解

消す順番を変える(得意な人向け)。 本解は $\sqrt{30}$ にとどめを任せた。実は消す順番を工夫すると、とどめの根号をもっと軽い $\sqrt{6}$ にできる。

②の $r^2=2\sqrt{5}r+2\sqrt{6}$ を、今度は $\sqrt{5}$ の項が右に孤立するように整理する:

$$r^2-2\sqrt{6}=2\sqrt{5}r$$

両辺を2乗すると

$$r^4-4\sqrt{6}{r}^2+24=20r^2⟺\sqrt{6}=\frac{r^4-20r^2+24}{4r^2}$$

$r$ が有理数なら右辺は有理数。ところが $\sqrt{6}$ は無理数だ($n^2=6m^2$ から $n$ が偶数、$2n^{\prime 2}=3m^2$ から $m$ も偶数、と(1)と同じ偶奇の背理法)。矛盾。

同じ2回の平方でも、どの根号を孤立させるかで「最後に生き残る1個」が変わる。$\sqrt{30}$ より $\sqrt{6}$ の方が、無理性の証明も軽い。消去の設計は一通りではない、という見本だ。