入れ子の絶対値方程式の解の個数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 入れ子の絶対値は、外側から1枚ずつ外す。$||x|-2|=a$ は、まず $a\ge 0$ が必要で、外すと $|x|-2=\pm a$、すなわち $|x|=2+a$ または $|x|=2-a$。

あとは $|x|=v$ の解の個数($v>0$ で2個、$v=0$ で1個、$v<0$ で0個)という翻訳表で、2つの値それぞれを数えて合計する。

グラフ(W字と水平線)で数える道もあり、両方で照合すると数え漏れが消える。

① 外して整理する。 $a\ge 0$ のとき $||x|-2|=a⟺|x|-2=\pm a⟺|x|=2+a$ または $|x|=2-a$。

② $|x|=$(値)の解の個数。 $|x|=r$ は、$r>0$ で $2$ 個($x=\pm r$)、$r=0$ で $1$ 個、$r<0$ で $0$ 個。

③ 場合分け。

• $a<0$:右辺が負で解なし。$0$ 個。
• $a=0$:$|x|=2$ のみ、$x=\pm 2$。$2$ 個。
• $0<a<2$:$|x|=2+a$($>0$、$2$ 個)と $|x|=2-a$($>0$、$2$ 個)。$4$ 個。
• $a=2$:$|x|=4$($2$ 個)と $|x|=0$($1$ 個)。$3$ 個。
• $a>2$:$|x|=2+a$($2$ 個)のみ($2-a<0$ は解なし)。$2$ 個。

まとめ W 字グラフと水平線 $y=a$ の交点で数える。$a$ の高さで $0,2,4,3,2$ 個と変わる。絶対値と解の個数(グラフ)の融合。

発展 — 一歩先へ。 「パラメータ $a$ を動かして解の個数を数える」問題の一般原理は、個数が変わるのは水平線が山・谷・折れ目に触れる瞬間だけ、ということ。2次関数なら接するとき(判別式0)、絶対値なら折れ目 — 境目の $a$ を全部拾い、各区間で1点ずつ試せば個数マップが完成する。この設計図は3次方程式の解の個数(定数分離)でそのまま再登場する。

別解

グラフを描いて水平線を上下させる(全体像が1枚に)。 $y=||x|-2|$ のグラフを組み立てる。

$y=|x|$(V字)→ $2$ 下げて $y=|x|-2$ → 負の部分を折り返して $y=||x|-2|$ — 谷2つ($x=\pm 2$ で高さ0)と山1つ($x=0$ で高さ2)の W字になる。

水平線 $y=a$ を下から上へ動かすと、交点の個数は

• $a<0$: 0個 → $a=0$: 谷の2点 → $0<a<2$: 4個 → $a=2$: 山の頂点を通り3個 → $a>2$: 2個

個数が変わるのは、水平線が谷や山にちょうど触れる瞬間だけ。翻訳表(本解)は場合分けの見落としを防ぐ帳簿、グラフは「なぜその境目で変わるのか」を一目で見せる絵 — 両方で数えて一致したら、答えはまず動かない。