連立1次不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 連立不等式は「別々に解いて、重なりを見る」の $2$ 段。

それぞれの不等式を単独で解き、$2$ つの範囲を数直線に描く。両方を同時に満たす部分(共通部分)が答えだ。

(2)の $-3<2x+1\leqq 7$ のように $x$ がまん中にある形は、$3$ つの部分に同じ操作をして $x$ だけを残す — $1$ 本の式のまま処理できる。数直線を描く手間が省ける、便利な型である。

(1) それぞれの不等式を別々に解く。

$$\begin{array}{rl}5x-3& <2x+9\\ 3x& <12\\ x& <4\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}x+4& \le 3x\\ -2x& \le -4\\ x& \ge 2\end{array}$$

(2つ目は $-2$ で割るので向きが逆。)$x<4$ と $x\ge 2$ の両方を満たす共通部分は、数直線の重なりを見て

$$2\le x<4$$

(2) $-3<2x+1\le 5$ は、真ん中に $x$ がある形。3つの部分すべてに同じ操作をして、$x$ を1つにする。まず各辺から1を引く。

$$-4<2x\le 6$$

各辺を2で割る(2は正なので向きはそのまま)。

$$-2<x\le 3$$

まとめ:連立不等式は『別々に解いて、共通部分をとる』が基本。数直線をかくと、重なりが目で見えて確実だ。

発展 — 一歩先へ。 共通部分が空っぽになる連立もある($x<2$ かつ $x>5$ など)— そのときの答えは「解なし」。数直線を描いていれば、矢印が重ならないことが一目で分かり、無理に答えをひねり出す事故を防げる。

「かつ(共通部分)」に対して「または(合併)」もある — 絶対値の不等式 $|x+2|>5$ の答え「$x<-7$ または $x>3$」がそれだ。$2$ つの範囲をつなぐ言葉が「かつ」か「または」かで、答えの形は正反対になる。集合と命題(次の単元)で、この $2$ 語は正式な記号($\cap$ と $\cup$)として整備される。

別解

共通部分の取り違えは、数直線を必ず描くことでほぼ消える。しかも「どちら向きの矢印か」の描き方にコツがある。

(1)の $2$ つの解 $x<4$ と $x\geqq 2$ を、上下に段を分けて描く。

• 上の段: $4$ から左向きの矢印($4$ は白丸 — 含まない)
• 下の段: $2$ から右向きの矢印($2$ は黒丸 — 含む)

$2$ 本の矢印が重なっている区間を縦に見ると、$2$ 以上 $4$ 未満。

$$2\leqq x<4$$

丸の色(白 $=$ 含まない、黒 $=$ 含む)をそのまま答えの不等号に写せば、境界の等号ミスも起きない。

確認は代入が確実。$x=2$ は両方を満たす?($5\cdot 2-3=7<13$ ✓、$2+4=6\leqq 6$ ✓)— 境界が答えに含まれることが数で確定する。$x=4$ は?($17<17$ ✗)— 含まれない。

「$2$ 本の矢印を上下に描いて、重なりを縦に読む」— 単純だが、連立不等式・絶対値・$2$ 次不等式まで、範囲を扱う問題すべてで使い続ける基本動作である。