入れ子の絶対値を含む不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 入れ子の絶対値は、外側から $1$ 枚ずつ外す。$|A|<1⟺-1<A<1$。

外側を外すと $-1<|x-1|-2<1$、すなわち $1<|x-1|<3$。内側の絶対値だけの不等式になった。

これを $2$ つに割る。$|x-1|<3$($-2<x<4$)と $|x-1|>1$($x<0$ または $x>2$)。両方を満たす $x$ が答えだ。

① 外側をはずす。 $||x-1|-2|<1$ は

$$-1<|x-1|-2<1⟹1<|x-1|<3$$

② 内側を $2$ 条件に分ける。 $|x-1|<3$ から $-3<x-1<3$、すなわち $-2<x<4$。$|x-1|>1$ から $x-1<-1$ または $x-1>1$、すなわち $x<0$ または $x>2$。

③ 両方を満たす $x$ をとる。 $-2<x<4$ かつ($x<0$ または $x>2$)より

$$-2<x<0\text{または}2<x<4$$

まとめ:入れ子の絶対値は「外側から $1$ 枚ずつ」。はずすたびに不等式が増えるので、最後は $2$ つの条件を同時に満たす $x$ をていねいにとる。$1<|x-1|<3$ は「$1$ からの距離が $1$ と $3$ の間」と読むと、答えが $1$ を中心に左右へ $2$ 区間になることも納得できる。

発展 — 一歩先へ。 絶対値を $k$ 重に入れ子にした $|\cdots ||x|-a_1|-a_2|\cdots |$ のグラフは、山と谷が増えたジグザグの折れ線になる。外側から $1$ 枚ずつ開く(または内側から置換する)と、解が複数の区間に分かれて現れる。入れ子の深さだけ場合が増える、絶対値の階層構造の練習だ。

別解

別解 — $t=|x-1|$ とおいて$2$段階に分ける(苦手な人向け)。 入れ子を一度に扱わず、$t=|x-1|$($t\ge 0$)と置換する。すると不等式は $|t-2|<1$。

これは $t$ が $2$ から距離 $1$ 未満、すなわち $1<t<3$。

$t$ を $|x-1|$ に戻すと $1<|x-1|<3$。これは「$x$ が $1$ から距離 $1$ より遠く、$3$ より近い」。数直線で $1$ を中心に、半径 $1$ の外・半径 $3$ の内、という$2$本のドーナツ状の帯。

$$-2<x<0\text{または}2<x<4.$$

外側から外す(本解)のと同じだが、$t=|x-1|$ と一度置換すると「$|t-2|<1$ という素直な形」になり、$t\ge 0$ の条件($1<t<3$ は自動的に満たす)も確認しやすい。中心 $1$ からの距離で読むと、$2$ つの区間が左右対称に出るのも見える。