3項の分母の有理化

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 項の分母は一度には消せない。$2$ 塊に分けるのがコツだ。$(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ と $\sqrt{5}$ に分け、共役 $(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}$ を分母分子に掛ける。

分母は $(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2-5=(5+2\sqrt{6})-5=2\sqrt{6}$。まだ根号が残るが、$1$ つになった。

残った $\sqrt{6}$ をさらに分母分子に掛ければ有理化完了。$2$ 段階で消す。

① 塊に分けて $1$ 回目。 $A=\sqrt{2}+\sqrt{3},B=\sqrt{5}$ とみて、分母・分子に $(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}$ を掛ける。分母は

$$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2=(5+2\sqrt{6})-5=2\sqrt{6}$$

よって

$$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$$

② $\sqrt{6}$ を消す。 分母・分子に $\sqrt{6}$ を掛ける。

$$=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{2\cdot 6}=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{12}$$

③ 根号を簡単にする。 $\sqrt{12}=2\sqrt{3},\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ だから

$$=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$$

まとめ:$3$ 項の有理化は「$2$ 塊に分けて和と差の積 → 残った単項の根号をもう一度」。塊 $(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ を $2$ 乗すると新しい根号 $\sqrt{6}$ が出るが、それは次の一手で消せる。どの $2$ 項を塊にするかは自由で、答えは同じになる。

発展 — 一歩先へ。 $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ を含む式の有理化は、$4$ 種の符号の積 $\prod (\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{3}+\sqrt{5})$ が有理数になることに基づく。これは体の理論(有理数体に $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ を添加した拡大体)の「共役をすべて掛けるとノルム=有理数」という一般法則の初等版。根号が増えるほど掛ける共役も増える。

別解

別解 — $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ の“共役”を全部掛ける(得意な人向けの高い視点)。 $3$ つの根号の符号を反転させた $4$ 種の積を考えると、まとめて有理化できる。$\pm$ の組合せ

$$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$$

を計算すると有理数になる(各段階で平方の差を作ると根号が消える)。この積は $\{(\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2-2\}\{2-(\sqrt{3}-\sqrt{5}{)}^2\}=\cdots$ と整理でき、有理数 $-64$… のように。

実用上は本解の$2$段階(まず $(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}$ を掛け、次に $\sqrt{6}$)が速い。$3$ 項の有理化は「$2$ 塊に分けて共役 → 残った $1$ 根号をもう一度」の$2$段構えが定跡で、答えは $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$。分母に $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ の“全共役”を掛ける発想は、より根号が増えたときの一般論につながる。