有理化で望遠鏡和(根号の和)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母に根号の和が並んだら、有理化が合図だ。分子分母に $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ を掛けると、分母は $(k+1)-k=1$ で消えて $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$。

各項が「隣り合う量の差」に化けた。

足すと途中がすべて打ち消し合い(望遠鏡)、最初と最後だけが残る。$\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9$。

① 有理化。 各項は $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$。

② 望遠鏡和。 $k=1$ から $99$ まで足すと $$\sum _{k=1}^{99}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots +(\sqrt{100}-\sqrt{99}).$$ 中間の $\sqrt{2},\sqrt{3},\dots ,\sqrt{99}$ がすべて打ち消し合い、 $$=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9.$$

まとめ 各項を有理化すると $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$ の差になり、望遠鏡和で両端 $\sqrt{100}-\sqrt{1}=9$ だけ残る。有理化と数列(望遠鏡和)の融合。

発展 — 一歩先へ。 「分母の和を有理化すると差になる」仕掛けは、分母が $\sqrt{k+2}+\sqrt{k}$(差が2)なら $\frac{1}{2}(\sqrt{k+2}-\sqrt{k})$ と2つ飛びの望遠鏡になる、というように自在に変形できる。また各項 $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ は約 $\frac{1}{2\sqrt{k}}$ — この観察を逆向きに使うと、$\sum \frac{1}{\sqrt{k}}$ を $2\sqrt{n}$ 程度と評価する不等式(最難関編の定番)につながる。

別解

部分和を予想して帰納法で確かめる(答えから逆走する)。 最初の数項を足してみる。

$$S_1=\sqrt{2}-1,S_2=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}-1$$

$S_n=\sqrt{n+1}-1$ と予想できる。帰納法で確かめると

$$S_{n+1}=S_n+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}}=\sqrt{n+1}-1+\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)=\sqrt{n+2}-1$$

(2項目は有理化。)予想が再生産されて閉じる。$n=99$ で $S_{99}=\sqrt{100}-1=9$。

一括の望遠鏡(本解)が見えないときでも、「数項計算 → 形を予想 → 帰納法」は必ず前に進める迂回路だ。なお似た形の $\sum \frac{1}{\sqrt{k}}$ は等式にならず、不等式ではさむしかない(最難関編の類題)— 分母が「隣の和」だからこそ、ぴったり消える。