整数部分の分割恒等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 整数部分の等式の定石は「整数を外へ、くくり出す」だ。$[x+n]=[x]+n$(整数 $n$)を使う。$x=n+f$($0\le f<1$)とおけば、両辺から $3n$ がそろって消える。調べるのは $0\le f<1$ の場合だけでよくなる。

残った $f$ の世界で、$\left[f+\frac{1}{3}\right]$ や $[3f]$ の値が変わる境目はどこか。$f=\frac{1}{3},\frac{2}{3}$ の2か所だ。そこで3つの区間に切り、両辺を表にする。場合分けそのものが証明になる。

① 整数部分をくくり出す。 $x=n+f$($n=[x]$、$0\le f<1$)とおくと

$$\text{左辺}=3n+[f]+\left[f+\frac{1}{3}\right]+\left[f+\frac{2}{3}\right],\text{右辺}=3n+[3f]$$

よって $0\le f<1$ で $[f]+\left[f+\frac{1}{3}\right]+\left[f+\frac{2}{3}\right]=[3f]$ を示せば十分だ($[f]=0$)。

② 3区間で両辺を計算する。

• $0\le f<\frac{1}{3}$: 左辺 $=0+0+0=0$。$0\le 3f<1$ より右辺 $=[3f]=0$ ✓
• $\frac{1}{3}\le f<\frac{2}{3}$: $f+\frac{1}{3}\in \left[\frac{2}{3},1\right)$、$f+\frac{2}{3}\in \left[1,\frac{4}{3}\right)$ より左辺 $=0+0+1=1$。$1\le 3f<2$ より右辺 $=1$ ✓
• $\frac{2}{3}\le f<1$: $f+\frac{1}{3}\in \left[1,\frac{4}{3}\right)$、$f+\frac{2}{3}\in \left[\frac{4}{3},\frac{5}{3}\right)$ より左辺 $=0+1+1=2$。$2\le 3f<3$ より右辺 $=2$ ✓

③ 結論。 すべての区間で一致する。よって、すべての実数 $x$ で等式が成り立つ。

まとめ: 整数をくくり出して $0\le f<1$ に帰着し、境目で区間を切る。整数部分の証明の完全な型だ。この等式は一般に ${\sum }_{k=0}^{m-1}\left[x+\frac{k}{m}\right]=[mx]$ と拡張でき($m=3$ が本問)、同じ場合分けの設計がそのまま通る。

別解

階段の歩幅で見る(得意な人向け)。 両辺を $x$ の関数として眺める。差 $g(x)=\text{左辺}-\text{右辺}$ について、2つのことが言える。

まず、$x$ を $\frac{1}{3}$ 増やすとどうなるか。左辺の3項は $\left[x+\frac{1}{3}\right]+\left[x+\frac{2}{3}\right]+[x+1]$ に入れ替わる。顔ぶれが1つずれただけで、$[x+1]=[x]+1$ だから、左辺全体はちょうど1増える。右辺も $[3x+1]=[3x]+1$ でちょうど1増える。つまり差は変わらない:

$$g\left(x+\frac{1}{3}\right)=g(x)$$

次に、$0\le x<\frac{1}{3}$ では両辺とも0(直接計算)。だからこの区間で $g=0$。

2つを合わせる。$g$ は幅 $\frac{1}{3}$ ごとに同じ値を繰り返す関数で、最初の区間で0。よってすべての実数で $g=0$、すなわち等式が成り立つ。

両辺は「幅 $\frac{1}{3}$ ごとに1段上がる、同じ階段」だった。そういう見方をすると、区間の表を作らなくても、階段の歩幅だけで証明が終わる。