整数部分・小数部分と関係式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず $\sqrt{13}$ の整数部分。$3^2=9<13<16=4^2$ だから $3<\sqrt{13}<4$、整数部分 $a=3$。小数部分は $b=\sqrt{13}-3$。

(2) は $b$ を直接$2$乗するより、$b+3=\sqrt{13}$ を$2$乗するのが速い。$b^2+6b+9=13$、すなわち $b^2+6b=4$。根号が消える。

(3) は $b^2+6b=4$ を $b(b+6)=4$ と見ると $\frac{1}{b}=\frac{b+6}{4}$。$b=\sqrt{13}-3$ を戻せば根号の式になる。

① (1) 整数部分。 $3^2=9<13<16=4^2$ より $3<\sqrt{13}<4$。よって $a=3$、小数部分は $b=\sqrt{13}-3$。

② (2) 関係式を作る。 $b+3=\sqrt{13}$ の両辺を $2$ 乗して

$$b^2+6b+9=13⟹b^2+6b=4$$

③ (3) $\frac{1}{b}$ を求める。 ②は $b(b+6)=4$ とも書ける。両辺を $4b$ で割ると

$$\frac{1}{b}=\frac{b+6}{4}=\frac{(\sqrt{13}-3)+6}{4}=\frac{\sqrt{13}+3}{4}$$

(有理化 $\frac{1}{\sqrt{13}-3}=\frac{\sqrt{13}+3}{13-9}=\frac{\sqrt{13}+3}{4}$ と一致する。)

まとめ:小数部分は「本体 − 整数」で表し、根号を片側に寄せて $2$ 乗すると $b$ の関係式が得られる。この関係式は $2$ 乗の値や $\frac{1}{b}$ の計算をぐっと軽くする万能の道具になる。

発展 — 一歩先へ。 $b=\sqrt{13}-3$ は $b^2+6b-4=0$ の解、つまり $\sqrt{13}$ を根にもつ最小の$2$次方程式 $x^2-6x-4=0$($x=b+3$)から来る。無理数の小数部分は、こうして「整数係数の$2$次方程式の解」として捉えられる。$\frac{1}{b}$ が再び $\sqrt{13}$ の式になるのも、$b$ が代数的数(方程式の解)だからだ。

別解

別解 — $(3)$ を有理化で直接出す(苦手な人向け)。 $b=\sqrt{13}-3$ だから、$\frac{1}{b}=\frac{1}{\sqrt{13}-3}$。分母の共役 $\sqrt{13}+3$ を分母分子に掛けて有理化する。

$$\frac{1}{\sqrt{13}-3}=\frac{\sqrt{13}+3}{(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)}=\frac{\sqrt{13}+3}{13-9}=\frac{\sqrt{13}+3}{4}.$$

$b^2+6b=4$ を経由する本解と同じ $\frac{\sqrt{13}+3}{4}$。

(2) の $b^2+6b=4$ も、$b=\sqrt{13}-3$ を直接代入して確かめられる: $b^2=(\sqrt{13}-3{)}^2=13-6\sqrt{13}+9=22-6\sqrt{13}$、$6b=6\sqrt{13}-18$。足すと $22-6\sqrt{13}+6\sqrt{13}-18=4$。$\sqrt{13}$ の項がきれいに消える。「$b+3=\sqrt{13}$ を$2$乗」(本解)は、この相殺を先取りした賢いやり方だ。