数学I / 実数と1次不等式

絶対値を含む方程式・不等式(場合分け)

★★ 標準絶対値場合分け

問題

次の方程式・不等式を解け。

(1) $∣ x - 2∣ = 3 x + 6$

(2) $∣ x - 1∣ \leq 2 x + 4$

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右辺に $x$ があると、単純に $\pm$ では外せない。中身が正か負かで場合を分けて $∣ x - 2∣$ を外し、各場合で『その場合の条件( $x \geq 2$ など)に合う解だけ』を残す。

解答・解説

右辺に $x$ が入っている絶対値の方程式・不等式は、 $∣ A ∣ = c$ の公式が使えない( $c$ が定数でないから)。そこで、中身の符号で場合分けして絶対値を外す。

$∣ x - 2∣$ なら、 $x \geq 2$ のとき $x - 2$ 、 $x < 2$ のとき $- (x - 2)$ 。それぞれの場合で解き、最後に『その場合の条件』と合うものだけを残す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 右辺に $x$ が入っている。ここが前問までとの違いだ。

$∣ A ∣ = c$ 型の公式は、 $c$ が定数だから使えた。右辺が $x$ の式だと、負になる可能性があって丸写しできない。

そこで、中身の符号で場合分けして絶対値を外す方針に切り替える。各場合で解いたら、その解が「場合の前提」に合っているかを必ず照合する。この確認までが1セットだ。

重要右辺に文字がある絶対値方程式は、中身の符号で場合分けして絶対値を外す

右辺に $x$ があるので、中身の符号で場合分けする。

(1) $∣ x - 2∣ = 3 x + 6$ 。

$x \geq 2$ のとき: $x - 2 = 3 x + 6$ より $- 2 x = 8$ 、 $x = - 4$ 。でもこれは $x \geq 2$ を満たさないので不適。

$x < 2$ のとき: $- (x - 2) = 3 x + 6$ より $- x + 2 = 3 x + 6$ 、 $- 4 x = 4$ 、 $x = - 1$ 。これは $x < 2$ を満たすので適する。

よって $x = - 1$ 。(念のため確認: $∣ - 1 - 2∣ = 3$ 、 $3 \times (- 1) + 6 = 3$ で両辺が等しい。)

(2) $∣ x - 1∣ \leq 2 x + 4$ 。

$x \geq 1$ のとき: $x - 1 \leq 2 x + 4$ より $- x \leq 5$ 、 $x \geq - 5$ 。 $x \geq 1$ と合わせて $x \geq 1$ 。

$x < 1$ のとき: $- (x - 1) \leq 2 x + 4$ より $- x + 1 \leq 2 x + 4$ 、 $- 3 x \leq 3$ 、 $x \geq - 1$ 。 $x < 1$ と合わせて $- 1 \leq x < 1$ 。

2つの場合( $x \geq 1$ と $- 1 \leq x < 1$ )を合わせると

$x \geq - 1$

まとめ:場合分けのコツは、各場合で出た解が『その場合の条件』に合うかを必ず確かめること。合わない解は捨てる。

発展 — 一歩先へ。 「場合ごとに解いて、前提と照合する」作法は、この先の絶対値を含む2次関数や、数学IIIの微分でも同じ形で登場する。場合分けの本体は、解くことよりも照合にある。

もう1つ、グラフの目も強力だ。(1)は $y = ∣ x - 2∣$ の折れ線と直線 $y = 3 x + 6$ の交点の問題と見ることができる。図を描くと、交点が1つしかない理由まで目で分かる。

答

(1) $x = - 1$ (2) $x \geq - 1$

(1)は $∣ A ∣ = B$ 型の言い換え「 $B \geq 0$ かつ( $A = B$ または $A = - B$ )」でも解ける。

$3 x + 6 \geq 0$ すなわち $x \geq - 2$ のもとで、2本の方程式を解く。

$x - 2 = 3 x + 6$ からは $x = - 4$ 。これは $x \geq - 2$ を満たさず不適。

$x - 2 = - (3 x + 6)$ からは $4 x = - 4$ 、 $x = - 1$ 。これは $x \geq - 2$ を満たし適する。

よって $x = - 1$ と同じ結果になる。「右辺は $0$ 以上でなければならない」という条件を忘れないことが、この方法の注意点である。中身の符号で分けるか、右辺の符号で縛るか。分け方の軸が違うだけで、どちらも「絶対値の等式が成り立つ条件」を漏れなく数えている。