対称式の値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x$ と $y$ を別々に $2$ 乗しない — それがこの問題の急所だ。

$x^2+y^2$ も $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ も、$x$ と $y$ を入れ替えても変わらない式(対称式)。対称式は、$x+y$ と $xy$(基本対称式)だけで表せる、という強い定理がある。

だから第一歩は $x+y$ と $xy$ の計算 — 今回は根号がきれいに消えて $2\sqrt{5}$ と $3$。あとは公式で組み立てるだけで、根号の展開を一切やらずに済む。

(1) まず $x+y$ と $xy$ を求める。

$$x+y=(\sqrt{5}+\sqrt{2})+(\sqrt{5}-\sqrt{2})=2\sqrt{5}$$

$xy$ は和と差のかけ算になる。

$$xy=(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})=(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=5-2=3$$

(2) $x^2+y^2$ は、公式 $x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$ を使う。

$$x^2+y^2=(2\sqrt{5}{)}^2-2\times 3=20-6=14$$

(3) $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ は、通分すると $\frac{x^2+y^2}{xy}$ になる。(2)と(1)の結果を使って

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{14}{3}$$

まとめ:対称式は、$x,y$ を1つずつ計算しなくても、$x+y$ と $xy$ から求まる。まずこの2つを出すのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 (3)の $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ は通分すると $\frac{x^2+y^2}{xy}$ — すでに求めた部品の割り算になる。$\frac{14}{3}$。対称式の問題は「基本対称式 → 部品 → 組み立て」の $3$ 段で、部品が再利用できるのが強みだ。

$x+y$ と $xy$ がきれいな値($2\sqrt{5}$ と $3$)になったのは、$x$ と $y$ が共役なペア(符号だけ違う)だから — 和では $\sqrt{2}$ が消え、積では和と差の積で根号が消える。この構造は数IIの「解と係数の関係」($2$ 次方程式の $2$ 解の和と積)にそのまま持ち上がり、$x,y$ は $t^2-2\sqrt{5}t+3=0$ の $2$ 解として再登場する。

別解

「対称式は $x+y$ と $xy$ で書ける」を信じられないなら、力ずくで計算して照合してみよう — 遠回りの経験が公式の価値を教えてくれる。

$x=\sqrt{5}+\sqrt{2}$ を直接 $2$ 乗する。

$$x^2=5+2\sqrt{10}+2=7+2\sqrt{10}$$

同様に $y^2=7-2\sqrt{10}$。足すと

$$x^2+y^2=14$$

— 対称式の公式($(x+y{)}^2-2xy=20-6=14$)と一致する ✓。

$2$ つの道の手間の差に注目したい。力ずくは $2$ 乗を $2$ 回(各 $3$ 項の展開)、公式は $20-6$ の引き算 $1$ 回。今回は $2$ 乗程度で済んだが、$x^3+y^3$ や $x^5+y^5$ になると差は絶望的に開く(公式なら $(x+y{)}^3-3xy(x+y)$ で終わる)。

そして根号の相殺が公式ルートの真骨頂だ。力ずくでは $\pm 2\sqrt{10}$ という無理数が現れ、最後に打ち消し合う。公式ルートでは、最初に $x+y=2\sqrt{5}$、$xy=3$ と根号を減らしてから組み立てるので、無理数の展開に一度も踏み込まない。

「対称性を先に使う」— 計算量を桁で減らす、数学の常套手段である。