数学I / 実数と1次不等式

二重根号の簡約

★★ 標準二重根号

問題

次の式の二重根号を外して簡単にせよ。

(1) $11 + 230$

(2) $9 - 45$

(3) $4 + 15$

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$(m \pm n)^{2}$ に戻す。『たして外の数・かけて中の数』の2数を探す。(2)は $45$ を $2$ の形に、(3)は中身を $\frac{+ 2}{2}$ の形に整えてから。

解答・解説

基本と同じ公式 $(a + b) \pm 2 ab = a \pm b$ 。

(2)は $45$ を $220$ に直して $2$ を作る。(3)は $2$ がなく、しかも作れないので、中を $\frac{8 + 2 15}{2}$ に直す工夫が要る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 二重根号を見たら、まず「 $2 ab$ の形が作れるか」を確認する。外せる二重根号は、必ずこの形が隠れている。

(2)のように係数が $2$ でないときは、 $45 = 220$ と書き直して $2$ を作る。

(3)は $2$ がなく、掛けても作れない。そこで中身を $\frac{8 + 2 15}{2}$ と分数に直す工夫が要る。「まず $2$ の形に整える」が全問共通の入口だ。

公式二重根号

(a + b) \pm 2 ab = a \pm b

(たして和・かけて積になる2数を探す)

二重根号を外す公式:

$(a + b) + 2 ab = a + b, (a + b) - 2 ab = a - b$

(1) たして11、かけて30の2数は6と5。

$11 + 230 = (6 + 5)^{2} = 6 + 5$

(2) $45$ には $2$ がないので、 $45 = 220$ と直して $2$ を作る。

$9 - 45 = 9 - 220$

たして9、かけて20の2数は5と4。

$9 - 220 = (5 - 4)^{2} = 5 - 2$

(3) $4 + 15$ は、 $15$ の前に $2$ を出せない。そこで、中身を2倍・2分の1して形を整える。

$4 + 15 = \frac{8 + 2 15}{2}$

分子 $8 + 215$ は、たして8・かけて15の5と3で $(5 + 3)^{2}$ 。分母の $2$ を有理化して

$\frac{8 + 2 15}{2} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{( 5 + 3 ) \times 2}{2} = \frac{10 + 6}{2}$

まとめ: $2$ が作れないときは、中を $\frac{2 \times ( \dots )}{2}$ にして $2$ を作る、という一段上の工夫だ。

発展 — 一歩先へ。 二重根号外しは $(a + b)^{2}$ の逆再生だ。「2乗すると根号が1段減る」という見方を裏返している。

この「2乗して根号を減らす」発想は、根号を含む方程式や、数学IIIの無理関数の扱いにつながる。1段ずつ根号を剥がしていく、という統一イメージで覚えておこう。

答

(1) $6 + 5$ (2) $5 - 2$ (3) $\frac{10 + 6}{2}$

公式を忘れても、「答えの形を予想して2乗で合わせる」やり方で外せる。

外れた結果は $a + b$ の形のはず。これを2乗すると $(a + b)^{2} = a + b + 2 ab$ 。

つまり「足して外の数、掛けて根号の中の数」になる2つを探せばいい。因数分解のときの2数探しと同じ頭の使い方だ。

(1)なら、足して $11$ ・掛けて $30$ になるのは $6$ と $5$ 。だから $6 + 5$ 。

最後に検算として2乗してみる。 $(6 + 5)^{2} = 11 + 230$ で元に戻るから正しい。予想して2乗で確かめる、この往復ができれば公式の暗記は不要になる。