数学I / 実数と1次不等式

循環しない小数は無理数

最難関編無理数循環小数

問題

小数 $α = 0.101001000100001 \dots$ (1と1の間に並ぶ0の個数が $1, 2, 3, 4, \dots$ と1個ずつ増えていく)は無理数であることを示せ。ただし、有理数の小数表示は必ず有限小数または循環小数になることは用いてよい。

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有理数だと仮定すると「ある桁から先は長さ $p$ の繰り返し」— この小数の構造(0の連続がどこまでも長くなる、1が無限に現れる)のどこと衝突するか。節の長さ $p$ を固定してから、十分先を眺めてみる。

解答・解説

有理数なら小数はある桁から先が長さ p の節の繰り返しになる。この小数では 0 が p 個以上連続する区間が(いくらでも先に)あるので、その区間が循環部分に入れば節の中身はすべて 0 — すると以後は 0 しか現れないはずだが、1 は無限に現れる。矛盾。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「有理数 ⟺ 有限小数または循環小数」の対偶を使う。循環しないことを示せば、無理数だと言える。

循環すると仮定して、矛盾を出そう。設計はこうだ。まず循環節の長さ $p$ を固定する。次に、この小数の2つの特徴とぶつける。0の連続がいくらでも伸びること。そして、1が無限個あることだ。

0が $p$ 個以上並ぶ区間が循環部分に入った瞬間、節は「全部0」と確定してしまう。それなのに、その先でまた1が現れる。この衝突が矛盾になる。

重要無理性の証明 = 「循環しない」ことの証明。循環節の長さ

p

を固定し、構造上の特徴(伸びる0の連・無限個の1)と衝突させる

① 仮定を立てる。 $α$ が有理数と仮定する。すると小数表示は、ある桁(第 $N$ 位とする)から先が長さ $p$ の節の繰り返しになる。( $α$ には1が無限に現れるから、有限小数ではない。)

② 長い0の連を循環部分に見つける。 $α$ の構造から、0の連続は1個、2個、3個、…と際限なく伸びる。よって第 $N$ 位より先に、0が $p$ 個以上連続する区間が存在する。

最初の15桁。0の連が 1個 → 2個 → 3個 → 4個と伸びていく。循環節の長さ p がいくつでも、いずれ「0だけの p 桁」が現れ、節は全部0に確定する

③ 節が全部0になって矛盾。 その区間は、連続する $p$ 桁をまるごと含む。つまり循環節のすべての位置に0が入っている。節は $p 00 \dots 0$ だ。

すると第 $N$ 位から先はすべて0のはず。だが $α$ には、0の連が終わるたびに1が無限に現れる。矛盾。よって $α$ は循環せず、無理数である。

まとめ: 根号も方程式もない「作られた無理数」。無理性の根拠が、計算ではなく小数の構造(規則的だが周期的でない)にあるところが新鮮だ。「循環節の長さを固定して、それより長い反復不能パターンを見つける」論法は、この種の構成小数すべてに通用する。

答

証明(循環すると仮定すると、循環節より長い0の連続の先で節がすべて0となり、以後1が現れず矛盾)

節の長さを1つ決めて、実演してみる(苦手な人向け)。 一般の $p$ で考える前に、たとえば「節の長さが3」だったらどうなるか、目で見てみよう。

循環が始まったあとの桁は、3桁の同じパターン ABC がずっと繰り返す。ところが $α$ には、その先のどこかに「0が3個以上並ぶ場所」が必ずある。0の連は $1, 2, 3, 4, \dots$ 個と伸びていくからだ。

0だけの区間は、繰り返しパターンを「まるごと1周以上」含む。パターンの3文字がどこから始まっていようと、A も B も C もその区間の中にいる。つまり $A = B = C = 0$ 。

節が 000 なら、そこから先は永久に0だけのはずだ。でも $α$ では、0の連が終わるたびに必ず1が来る。破綻した。

節の長さが3でなく、100でも1万でも、話はまったく同じだ。「0の連はどんな長さも追い越す」から、どんな節も0で埋まってしまう。一般の $p$ の証明は、この実演をそのまま文字にしたものである。