二重根号と分母の有理化

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 道具が連鎖する問題では「まず式をいちばん見やすい形に直す」を最優先にする。(1)は係数を $2\sqrt{ab}$ の形に直して公式へ — 外したあとの符号(どちらが大きいか)の確認も忘れない。

(1) $4\sqrt{3}=2\sqrt{12}$ として $2$ を作る。たして7・かけて12の2数は4と3。

$$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$$

$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ も同じだが、$\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$ で、これは正なので

$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{3}{)}^2}=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$$

足すと $\sqrt{3}$ が消えて

$$(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$$

(2) 分母の二重根号をまず外す。たして9・かけて14の2数は7と2。

$$\sqrt{9+2\sqrt{14}}=\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{7}+\sqrt{2}$$

よって $\frac{1}{\sqrt{9+2\sqrt{14}}}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$。これを有理化する。

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{7-2}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{5}$$

(3) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ は $2$ が作れないので、中を $\frac{8-2\sqrt{15}}{2}$ に直す。

$$\sqrt{4-\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{8-2\sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$$

分子 $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$ は、たして8・かけて15の5と3で

$$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$$

分母の $\sqrt{2}$ を有理化して

$$\sqrt{4-\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})\times \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$$

別解

(1)は、二重根号を外さずに求める手もある。$A=\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ とおいて、両辺を2乗する。

$$\begin{array}{rl}{A}^2& =(7+4\sqrt{3})+2\sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}+(7-4\sqrt{3})\\ & =14+2\sqrt{49-48}=14+2=16\end{array}$$

$A>0$ なので $A=\sqrt{16}=4$。2乗すると、真ん中が和と差のかけ算になって根号が消える、という技だ。