相加相乗を3項に分けて使う最小値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 そのまま2項で相加相乗を使うと $2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x^2}}=\frac{4}{\sqrt{x}}$ — 右辺に $x$ が残って最小値にならない。

相加相乗で最小値を出すには、積が定数になる割り方が要る。$x$ を $\frac{x}{2}+\frac{x}{2}$ と2つに割ると、3項の積は $\frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{4}{x^2}=1$ — 定数だ。

3項の相加相乗で $f(x)\ge 3\sqrt[3]{1}=3$。等号は3項が等しいとき($x=2$)で、実現も確認できる。

① $3$ 項に分ける。 $x>0$ で $$x+\frac{4}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}.$$ ② 相加相乗。 $3$ 項の積は $\frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{4}{x^2}=\frac{x^2}{4}\cdot \frac{4}{x^2}=1$。よって $$\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}\ge 3\sqrt[3]{1}=3.$$ ③ 等号と最小。 等号は $\frac{x}{2}=\frac{x}{2}=\frac{4}{x^2}$、すなわち $\frac{x}{2}=\frac{4}{x^2}$、$x^3=8$、$x=2$。よって最小値は $3$($x=2$ のとき)。

まとめ 相加相乗は積が定数になるように分ける。$x$ を $\frac{x}{2}+\frac{x}{2}$ と割って $3$ 項にすると積 $1$、最小値 $3$($x=2$)。不等式と最大最小の融合。

発展 — 一歩先へ。 一般に $\frac{x}{p}\times p\text{個}+\frac{c}{x^q}\times q\text{個}$ …と、べきの比率に合わせて項を割るのが相加相乗の設計術だ($x^1$ と $x^{-2}$ なら $2:1$ で割ると積から $x$ が消える — 本問の $\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{4}{x^2}$ はまさにそれ)。微分を学べば $f^{\prime }(x)=1-\frac{8}{x^3}=0$ からも $x=2$ が出るが、「積が定数になる割り方の設計」は微分なしで最小値を言い切れる、数Iの武器のまま最後まで役に立つ。

別解

因数分解で直接示す(等号の点から逆算した完全証明)。 最小値が $3$(等号 $x=2$)と見当がついたら、$f(x)\ge 3$ を差の因数分解で言い切れる。

$$f(x)-3=x+\frac{4}{x^2}-3=\frac{x^3-3x^2+4}{x^2}$$

分子は $x=2$ で $0$(等号の点!)だから $(x-2)$ で割れて、実は2重に割れる:

$$x^3-3x^2+4=(x-2{)}^2(x+1)$$

よって $x>0$ では

$$f(x)-3=\frac{(x-2{)}^2(x+1)}{x^2}\ge 0$$

等号は $x=2$ のみ。「最小値の候補で差を作ると、等号の点が2重根になって現れる」— 接するときの重解と同じ構造で、相加相乗の割り方(本解)がなぜ $x/2$ だったのか($3$ 項が等しくなる点が $x=2$)の裏付けにもなっている。