分母の有理化

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母に根号があると扱いにくい。分母から根号を追い出すのが有理化だ。

道具は「上下に同じものをかけても分数の値は変わらない」という当たり前の性質。何をかけるかで $2$ 通り。

• 分母が $\sqrt{a}$ $1$ つ → $\sqrt{a}$ をかける($\sqrt{a}\times \sqrt{a}=a$ で消える)
• 分母が $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ の形 → 符号を変えた $\sqrt{a}-\sqrt{b}$(共役)をかける — 和と差の積で $2$ 乗になり、根号が消える

(1) 分母が $\sqrt{3}$ なので、上下に $\sqrt{3}$ をかける。

$$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

(2) 上下に $\sqrt{5}$ をかける。

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$$

(3) 分母が $\sqrt{7}+\sqrt{3}$。符号を変えた $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ を上下にかけると、分母が和と差のかけ算になって根号が消える。

$$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}=\sqrt{7}-\sqrt{3}$$

(4) 分母が $2-\sqrt{3}$。符号を変えた $2+\sqrt{3}$ を上下にかける。

$$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$$

まとめ:分母が $4-3=1$ になって、きれいに根号が消えた。『符号を変えたものをかける』が有理化の決め手。

発展 — 一歩先へ。 (4)の $\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$ という結果は面白い — 逆数をとったのに、符号が反転しただけ。これは $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$、つまり $2$ 数が互いに逆数だから。$1$ になるようなペアは特別で、この $2+\sqrt{3}$ は「白銀比」の親戚として図形にも顔を出す。

「共役をかけて消す」という発想は、この先ずっと使う。数IIの複素数では $\frac{1}{2-i}$ の実数化(共役 $2+i$ をかける)、極限では $\infty -\infty$ の有理化 — 見えない部分を、相方をかけて消すという手筋が、数学のいろいろな場所で同じ顔で現れる。

別解

なぜ符号を変えたものをかけるのか — 前問の(3)を思い出すと、種明かしになる。

$(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})=6-2=4$ — 和と差の積は $2$ 乗の差になり、根号が消えて整数になった。

有理化は、この現象を分母に対して意図的に起こす操作だ。(3)の $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ なら、分母の相棒 $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ を上下にかけて

$$\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}=\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3}=\sqrt{7}-\sqrt{3}$$

分母が $4$ になり、約分できれいに消えた。

有理化のご利益も知っておきたい。$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ のままでは、値がどのくらいか見当がつかない(分母が $0.27$ 前後の小さい数)。有理化した $2+\sqrt{3}\approx 3.73$ なら一目瞭然だ。割り算を掛け算に変えて、値を見えるようにする — それが有理化の目的である。