絶対値の定義と計算

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値を外すには、中身の符号を先に決める。中身が $0$ 以上ならそのまま、負ならマイナスを付けて正にひっくり返す。

(3)の $\sqrt{5}-3$ は、パッと見では符号が分からない。$\sqrt{5}$ と $3=\sqrt{9}$ を比べれば $\sqrt{5}<3$ — 中身は負だ。

(4)も同じ手順を $2$ 回。$2>\sqrt{3}$(中身は正)、$1<\sqrt{3}$(中身は負)— 符号が違うので、外し方も変わる。

絶対値の定義を確認する。

$$|a|=\{\begin{array}{ll}a& (a\ge 0)\\ -a& (a<0)\end{array}$$

(1) 中身 $-6$ は負なのでマイナスをつける。

$$|-6|=-(-6)=6$$

(2) まず中身を計算。$3-8=-5$ で負なので

$$|3-8|=|-5|=5$$

(3) $\sqrt{5}$ と3を比べる。$3=\sqrt{9}$ で $\sqrt{5}<\sqrt{9}$ だから、$\sqrt{5}-3$ は負。だからマイナスをつける。

$$|\sqrt{5}-3|=-(\sqrt{5}-3)=3-\sqrt{5}$$

(4) それぞれの符号を調べる。$2-\sqrt{3}$ は $\sqrt{3}<2$($\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$)より正、$1-\sqrt{3}$ は $1<\sqrt{3}$ より負。だから

$$|2-\sqrt{3}|+|1-\sqrt{3}|=(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)=1$$

まとめ:$\sqrt{3}$ が消えて、きれいに1になる。根号を含む絶対値は、まず中身の符号を『 ​ どうしの大小』で調べるのがコツ。

発展 — 一歩先へ。 (4)の答えが $1$ ときれいになったのは、$\sqrt{3}$ が打ち消し合ったから: $(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)=1$。$2$ つの絶対値の符号が逆だったことが、この相殺を生んでいる — もし両方同じ符号なら $\sqrt{3}$ は残る。「符号の吟味」を飛ばすと、この相殺は起きず答えが合わない。

「距離」の見方は、この先の絶対値の方程式($|x-2|=5$ は「$2$ から距離 $5$ の点」)・不等式($|x-1|\le 3$ は「$1$ から距離 $3$ 以内」)で本領を発揮する。記号の操作ではなく数直線の絵で解けるようになると、絶対値は怖くなくなる。

別解

絶対値の正体を数直線の距離として持っておくと、記号の意味が体でわかる。

$|a|$ は「原点 $0$ から $a$ までの距離」。$|-6|=6$ は「$-6$ は $0$ から $6$ の距離」— 向きを捨てて長さだけを見るのが絶対値だ。

さらに $|a-b|$ は「$a$ と $b$ の距離」と読める。

• $|3-8|$: $3$ と $8$ の距離 → $5$($|8-3|$ でも同じ — 距離に向きはない)
• $|\sqrt{5}-3|$: $\sqrt{5}$($\approx 2.24$)と $3$ の距離 → 大きい方から小さい方を引いて $3-\sqrt{5}$

距離は必ず「大 $-$ 小」。この一言で、絶対値の外し方の符号ミスが消える — 中身が負かどうかを考える代わりに、「どっちが大きいか」だけ見ればよい。

$\sqrt{5}$ の大きさが分からなければ、$2^2=4<5<9=3^2$ から $2<\sqrt{5}<3$ と挟む。$2$ 乗して比べる — 根号の大小はいつもこの手で決まる。